Основная теорема о математическом ожидании.

Пусть - некоторая случайная величина, определенная на вероятностном пространстве , закон распределения которой известен (дискретный или непрерывный); - неслучайная функция; - функция от случайной величины .

Везде далее мы будем предполагать, что преобразующая функция удовлетворяет следующим условиям:

1. Область определения функции содержит множество возможных значений случайной величины : ;

2. Функция является борелевской, то есть измеримой относительно борелевской -алгебры . Это означает, что для любого борелевского множества его образ .

Первое условие обеспечивает корректность функционального преобразования . Второе условие гарантирует, что функция от случайной величины также будет случайной величиной. Действительно, если функция является борелевской, то по определению случайной величины для любого борелевского множества множество , поскольку полный прообраз ).

Замечание. Класс борелевских функций на числовой прямой очень широк и покрывает все потребности практики (в частности, ему принадлежат все ограниченные кусочно-непрерывные функции). Поэтому требование того, что функция должна быть борелевской, для приложений ограничительным не является.

Задача состоит в нахождении математического ожидания . Существует два способа решения этой задачи:

а) По закону распределения случайной величины находится закон распределения случайной величины и используются стандартные формулы (2.7) и (2.8);

б) Математическое ожидание находится с помощью основной теоремы о математическом ожидании.

Теорема (основная теорема о математическом ожидании или теорема о замене переменных).

Пусть - некоторая случайная величина, закон распределения которой известен, случайная величина является функцией от случайной величины .

1. Если случайная величина является дискретной, принимающей значения с вероятностями , , и при этом ряд абсолютно сходится (), то у случайной величины существует математическое ожидание и

.

2. Если случайная величина является непрерывной с плотностью вероятностей и интеграл абсолютно сходится (), то у случайной величины существует математическое ожидание и

.

(без доказательства).

Смысл основной теоремы о математическом ожидании: Для нахождения математического ожидания случайной величины , являющейся функцией от случайной величины , не требуется знать закон распределения случайной величины , достаточно лишь знать закон распределения случайной величины .