Задача № 11.

11.1. Система случайных величин имеет равномерное распределение внутри квадрата со стороной a. Диагонали квадрата совпадают с осями координат. Определить: а) плотность совместного распределения вероятностей системы (X, Y);

б) плотность распределения вероятностей каждой из случайных величин, входящих в систему.

11.2. Система трех случайных величин (X, Y, Z) распределена равномерно внутри цилиндра, ось которого совпадает с осью OZ и точкой O делится пополам. Радиус цилиндра равен R, а высота 2h. Определить: а) плотность совместного распределения вероятностей системы (X, Y, Z); б) плотность распределения каждой из случайных величин, входящих в систему.

11.3. Система случайных величин (X, Y) подчинена закону распределения с плотностью распределения вероятностей , если и если . Найти: 1) a; 2) ; 3)дисперсии ;

4) коэффициент корреляции .

11.4. Система двух случайных величин (X, Y) подчинена нормальному закону распределения. Рассеивание круговое. Найти вероятность попадания случайной точки (X, Y) в круг, центр которого cовпадает с центром рассеивания, а радиус равен двум вероятным отклонениям (Вероятное отклонение где

= 0, 476936).

11.5. Плотность совместного распределения вероятностей системы случайных величин X, Y имеет вид: , где Определить параметры распределения. Выяснить, зависимы или независимы случайные величины X, Y.

11.6. Плотность совместного распределения системы случайных величин X, Y:

. Найти коэффициент A. Найти законы распределения случайных величин X, Y. Установить, зависимы или нет случайные величины X, Y.

11.7. Система двух случайных величин (X, Y) подчинена закону распределения с плотностью совместного распределения: . Определить коэффициент A и найти радиус круга с центром в начале координат, вероятность попадания в который равна P.

11.8. Система случайных величин (X, Y) имеет плотность совместного распределения

, где . Найти a. Написать выражение плотностей распределения случайных величин X и Y. Определить математические ожидания и дисперсии случайных величин X и Y.

11.9. Производится единичное бомбометание по прямоугольной наземной цели. Ширина цели равна 20 м, а длина 100 м. Прицеливание по центру цели. Оси рассеивания совпадают с направлением полета и с перпендикуляром к этому направлению. Вероятное отклонение в направлении полета равно 60 м, в направлении, перпендикулярном полету – 40 м. Систематические ошибки отсут-ствуют. Вероятность попадания в цель при сбрасывании одной бомбы. Указание: Вероятное отклонение

11.10. Плотность совместного распределения системы случайных величин X, Y равна . Определить A. Найти функции распределения и плотности распределения случайных величин, входящих в систему. Определить, зависимы или независимы случайные величины: X, Y.

11.11. Дана плотность совместного распределения случайных величин X, Y:

Определить вероятность попадания в прямоугольник:

y

(2; 1, 5)

(0; -1) (2; -1) х

11.12. Система случайных величин (X, Y) распределена с постоянной плот-ностью внутри квадрата. Найти плотности распределения случайных величин X, Y входящих в систему:

Y

1

-1 1 x

-1

11.13. Система случайных величин (X, Y) подчинена закону распределения с плотностью:

Область D - квадрат, ограниченный линиями x = 0; x = 3; y = 0; y = 3.

Найти: а) Коэффициент a; б) вероятность попадания случайной точки (x, y) в квадрат, ограниченный прямыми x = 1, x = 2, y = 1, y = 2; в)

11.14. Определить плотность распределения вероятностей, математические ожидания и корреляционную матрицу системы случайных величин (X, Y), если ,

11.15. Плотность совместного распределения случайных величин (X, Y): Определить: 1) коэффициент A; 2) законы распределения каждой из случайных величин, входящих в систему; 3) математичес-

кие ожидания каждой из случайных величин.

11.16. Плотность совместного распределения системы случайных величин X, Y равна . Найти коэффициент a. Установить, являются ли величины зависимыми. Определить вероятность совместного выполнения двух неравенств x < -3; y < 4.

11.17. Координаты случайной точки (X, Y) раcпределены равномерно внутри прямоугольника, ограниченного прямыми x = 0, x = a, y = 0, y = b. Определить вероятность попадания случайной точки в круг радиуса R = a, если a > b, а центр круга совпадает с началом координат.

11.18. Координаты (X, Y) случайной точки распределены равномерно внутри прямоугольника, ограниченного прямыми x = a, x = b, y = c, y = d (в > a, d > c). Найти плотность распределения вероятностей и функцию распределения системы случайных величин X, Y. Выяснить, являются ли X, Yнезависимыми величинами.

11.19. Плотность совместного распределения случайных величин X, Y равна:

в области D и f(x, y)=0 вне этой области. Область D- треугольник, ограниченный прямыми Найти а) ; б) коэффициент корреляции , дисперсии

11.20. Плотность совместного распределения системы случайные величины

(X, Y), заданной внутри круга радиуса R, равна . Опреде-лить: 1) постоянную C; 2) вероятность попадания в круг радиуса a < R, если центры обоих кругов совпадают с началом координат.

11.21. Плотность совместного распределения системы случайных величин

(X, Y): в области D и вне этой области. Область D определяется неравенствами Определить: a) постоянную a;

б) ; в) определить коэффициент корреляции r _xy.

11.22. Дана плотность совместного распределения системы случайных величин . Определить вероятность попадания случайной точки (x, y)в прямоугольник с вершинами в точках (0; 0), (1; 0), (0; 1), (1; 1).

11.23. Плотность распределения вероятностей двумерного случайного вектора (X, Y)имеет следующий вид: .

Вычислить: а) значение постоянной c; б) вероятность ); в) центр рассеивания.

11.24. Случайные величины X и Y независимы и распределены каждая по показательному закону с параметрами соответственно l₁ и l₂. Найти вероятность

11.25. Функция совместного распределения двух случайных величин X и Y имеет следующий вид:

Найти одномерные законы распределения компонент и решить вопрос об их зависимости или независимости.

11.26. Случайные величины X и Y независимы и распределены следующим образом: X - по закону N(1; 2), Y - по равномерному закону на отрезке [0; 2].

Найти вероятность следующих событий: , где область

D = {(x, y) / (0 x 2, 0 y 1); B = {X > Y}.

11.27. Случайная точка на плотности (X, Y) распределена по круговому нормальному закону (r_xy = 0, s_x = s_y = s = 1,) с центром рассеивания в начале координат. Вычислить вероятности следующих событий: A = {Y > X},

B = {ç Yç > X}, C = {Y < 3X}, D = {ç Xç < 1}, E = {X < 1, Y < 2}.

11.28. Заданы следующие характеристики двумерного нормального вектора:

m_x = -2; m_y = 3 и ковариационная матрица . Записать выражение для плотности распределения вероятностей f(x, y) и вычислить вероятность попадания в эллипс рассеивания с полуосями a = 2s_x, b = 2s_y.

11.29. Определить вероятность попадания точки с координатами (X, Y) в область, определяемую неравенствами (1 £ X £ 2, 1 £ Y £ 2), если функция распреде-ления

11.30. Определить математические ожидания и корреляционную матрицу системы случайных величин (X, Y), если плотность распределения вероятностей