Дискретные случайные величины

Определение 9.4. Дискретной случайной величиной (кратко: д.с.в.) называется с.в. X, если множество ее возможных значений конечное или счетное (т.е. элементы множества могут быть перенумерованы натуральными числами).

Закон распределения д.с.в. X удобно задавать с помощью таблицы, называемой рядом распределения.

При этом возможные значения x₁, x₂, … с.в.X в верхней строке этой таблицы располагаются в определенном порядке (чаще всего по возрастанию значений), а в нижней – соответствующие вероятности p_i=Р{Х=x_i} ().

Графически ряд распределения изображают в виде многоугольника (или полигона) распределения (см.рис.9.1).

Функция распределения д.с.в. имеет вид:

,

Рис.9.1 где суммирование ведется по всем индексам i, для которых х_i< х.

Пусть заданы д.с.в.Х, принимающая значения x_i с вероятностями p_i (i=1, 2, …, n) и д.с.в.Y, принимающая значения y_j с вероятностями q_j (j=1, 2, …, m).

Определение 9.5. Суммой (соответственно, разностью или произведением) д.с.в. Х и Y называется д.с.в. Х+Y (соответственно, Х–Y или Х∙ Y), принимающая все значения вида x_i+y_j (соответственно, x_i–y_j или x_i∙ y_j) с вероятностями p_i∙ q_j.

Определение 9.6. Произведением д.с.в.Х на число k называется д.с.в. kХ, принимающая значения k∙ x_i с вероятностями p_i.

Определение 9.7. Квадратом (соответственно, m-ой степенью) д.с.в.Х называется д.с.в.Х², принимающая значения (соответственно, ) с вероятностями p_i.

Определение 9.8. Дискретные с.в. Х и Y называются независимыми, если независимы события {X=x_i} и {Y=y_j} при любых i=1, 2, …, n и j=1, 2, …, m.

Пример 9.1. В урне 4 белых и 3 черных шара. Из нее последовательно вынимают шары до первого появления белого шара.

а) Постройте ряд и полигон распределения д.с.в. X числа извлеченных шаров.

б) Найдите функцию распределения F(x) д.с.в. X.

в) Найдите вероятности событий A={X< 3}, B={2 X< 4}, C={2< X 4}.

Решение. а) Возможными значениями с.в. X являются числа x₁=1, x₂=2, x₃=3, x₄=4. Значение х₃=3, например, означает, что первый и второй шары были черными, а третий – белый. Соответствующие им вероятности p₁, p₂, p₃, p₄ найдем, воспользовавшись правилом умножения вероятностей:

p₁=Р{Х=1}=Р{1-й шар белый}= ,

р₂=Р{Х=2}=Р{1-й шар черный, 2-й – белый}= = ,

р₃=Р{Х=3}=Р{первые два шары черные, 3-й – белый}= = ,

р₄=Р{Х=4}=Р{первые три шары черные, 4-й – белый}= = .

Таким образом, ряд распределения с.в. X имеет вид:

xi
pi

Обязательно проверим, что сумма всех вероятностей равна единице:

.

Полигон распределения с.в. X представлен на рис.9.2.

б) Для того, чтобы найти функцию распределения, воспользуемся формулой . Тогда получим:

Рис.9.2

в) P(A)=P{X< 3}=F(3)= .

P(B)=P{2 X< 4}=F(4)–F(2)= – = .

P(C)=P{2< X 4}=P{2 X< 4}–Р{Х=2}+Р{Х=4}=F(4)–F(2)– + = .

Следует заметить, что вычисление вероятностей можно произвести и непосредственно, пользуясь рядом распределения.

Пример 9.2. Дискретная с.в. X задана рядом распределения:

Найдите функцию распределения F(x) и постройте ее график.

Решение. Так как функция распределения для д.с.в. представляет собой функцию накопления вероятностей, то ее аналитически можно представить следующим образом:

Рис.9.3

График функции F(x) см. на рис.9.3.

Пример 9.3. Даны законы распределения двух независимых дискретных случайных величин Х и Y:

Найдите закон распределения случайной величины Z=Х+Y.

Решение. Найдем возможные значения с.в.Z: 0+(–1)= –1, 0+1=1, 2+(–1)=1, 2+1=3. Т.о. с.в.Z будет принимать три значения: –1; 1; 3. Найдем вероятности этих значений, учитывая независимость д.с.в. Х и Y:

P{Z= –1}=P{X=0, Y= –1}=P{X=0}∙ P{Y= –1}=0, 7∙ 0, 4=0, 28;

P{Z=1}=P{X=2, Y= –1}+P{X=0, Y=1}=P{X=2}∙ P{Y= –1}+P{X=0}∙ P{Y=1}=

=0, 3∙ 0, 4+0, 7∙ 0, 6=0, 54;

P{Z=3}=P{X=2, Y=1}=P{X=2}∙ P{Y=1}=0, 3∙ 0, 6=0, 18.

Т.о. закон распределения с.в.Z имеет вид:

Следует проверить выполнение равенства : 0, 28+0, 54+0, 18=1.