Непрерывные случайные величины

Определение 9.9. Непрерывной случайной величиной (кратко: н.с.в.) называется с.в.X, если множество ее возможных значений непрерывно заполняют конечный или бесконечный промежуток на числовой оси.

Более строгое определение н.с.в. можно дать, используя понятие функции распределения.

Определение 9.9(а). Случайная величина X называется непрерывной, если ее функция распределения F(x) непрерывна на всей числовой оси.

В отличие от дискретных случайных величин вероятность отдельного значения для непрерывной случайной величины равна нулю: Р{Х=с}=0, . Поэтому для н. с. в. X имеем:

Р{а Х< b} = Р{а< Х< b} = Р{а< Х b} = Р{а Х b} = F(b) – F(а).

Помимо функции распределения для непрерывных случайных величин, существует еще один удобный способ задания закона распределения – плотность вероятности.

Определение 9.10. Пусть функция распределения F(x) данной н.с.в. X непрерывна и дифференцируема всюду, кроме, может быть, отдельных точек. Тогда производная f(x) ее функции распределения называется плотностью распределения непрерывной с.в.X (или плотностью вероятности): f(x)=F'(x). График плотности распределения f(x) называется кривой распределения.

Плотность распределения обладает следующими свойствами:

1. f(x) 0 (свойство неотрицательности);

2. (свойство нормированности);

3. Р{а Х b}= ;

4. F(x)= ;

5. .

Пример 9.4. Задана функция распределения н.с.в. X:

Найдите: а) коэффициент С;

б) плотность распределения f(x) и постройте графики функций F(x) и f(x);

в) Р{3 Х< 4}.

Решение. а) Так как с.в. Х непрерывна, то F(x) должна быть непрерывной функцией в любой точке, в частности, и при х=5. Так как F(5)=1, то , откуда С= .

б) Для нахождения f(x) воспользуемся определением f(x)=F'(x).

Графики функции распределения и плотности распределения см. на рис.9.4 и 9.5 соответственно.

Рис.9.4 Рис.9.5

в) Р{3 Х< 4}=Р{3 Х 4}= = = .

Пример 9.5. При каком значении параметра С функция f(x):

может быть плотностью распределения некоторой непрерывной с.в. X? Найдите функцию распределения вероятностей F(x) и постройте графики f(x) и F(x).

Решение. Очевидно, что f(x)> 0 при C> 0, . Используя свойство нормированности , найдем значение параметра С.

= .

Отсюда получим, что С=3.

Т.о. Для нахождения функции распределения вероятностей используем формулу F(x)= .

При x< 1 имеем: F(x)= =0.

При x 1 имеем F(x)= = .

Т.о.

Графики функции распределения и плотности распределения см. на рис.9.6 и 9.7 соответственно.

Рис.9.6 Рис.9.7

Решите задачи:

1. Какая из нижеприведенных последовательностей является распределением вероятностей некоторой дискретной случайной величины (): а) ; б) ; в) ; г) .

2. Может ли функция F(x) быть функцией распределения некоторой случайной величины, если: а) ;

б) ; в) ; г)

3. Даны значения, принимаемые д.с.в. X: 10, 2, 8, 4; и соответствующие им вероятности: 0, 3, 0, 4, 0, 1, 0, 2. Постройте ряд и полигон распределения д.с.в. X. Найдите функцию распределения F(x) д.с.в. X и постройте ее график.

4. Дискретная с.в.Х задана рядом распределения:

а) Найдите значение р.

б) Найдите функцию распределения F(x) д.с.в.X.

в) Постройте ряды распределения с.в. Z=3Х и W=Х².

5. Задана функция распределения F(x) д.с.в. X:

Постройте ряд распределения д.с.в. X.

Найдите вероятности: Р{Х=1}, Р{2< X 4}.

6. Построить ряд и полигон распределения д.с.в. X числа попаданий мяча в ворота при двух одиннадцатиметровых ударах, если вероятность попадания при одном ударе равна 0, 7. Найдите функцию распределения F(x) д.с.в. X и постройте ее график.

7. Монета подбрасывается 3 раза. Постройте ряд и полигон распределения д.с.в. X числа выпадений герба. Найдите функцию распределения F(x) д.с.в. X и постройте ее график. Найдите P{X< 2}, Р{0 Х< 2}, Р{0< X 2}, P{X> 2}.

8. В урне имеется четыре шара с номерами от 1 до 4. Вынули два шара. Постройте ряд и полигон распределения с.в. X суммы номеров вытащенных шаров. Найдите функцию распределения F(x) д.с.в. X и постройте ее график.

9. Абитуриент должен сдать три экзамена. Вероятность успешной сдачи 1-го экзамена равна 0, 5, 2-го – 0, 6, 3-го – 0, 8. Постройте ряд и полигон распределения с.в. X числа экзаменов, сданных абитуриентом. Найдите функцию распределения F(x) д.с.в. X и постройте ее график.

10. В команде 16 спортсменов, из которых 6 перворазрядников. Наудачу выбирают двух спортсменов. Постройте ряд и полигон распределения д.с.в. X числа перворазрядников среди выбранных спортсменов. Найдите функцию распределения F(x) д.с.в. X и постройте ее график.

11. Даны законы распределения двух независимых дискретных случайных величин Х и Y:

Найдите законы распределения с.в.: а) Z=Х+Y; б) V=X–Y; в) W=X∙ Y.

12. Может ли при каком-либо значении аргумента быть:

а) Функция распределения – больше единицы?

б) Плотность распределения – больше единицы?

в) Функция распределения – отрицательной?

г) Плотность распределения – отрицательной?

13. Дан график плотности распределения f(x) случайной величины X (рис.9.8). Как изменится этот график, если:

а) прибавить к случайной величине 1; Рис.9.8

б) вычесть из случайной величины 2;

в) умножить случайную величину на 2;

г) изменить знак величины на противоположный?

14. Дан график функции распределения F(x) случайной величины X (рис.9.9). Как изменится этот график, если:

а) прибавить к случайной величине 1;

б) вычесть из случайной величины 2; Рис.9.9

в) умножить случайную величину на 2;

г) изменить знак случайной величины на противоположный?

15. Н.с.в. Х подчинена закону распределения с плотностью f(x):

а) Найдите коэффициент .

б) Постройте график f(x).

в) Найдите Р{1< Х< 2}.

16. Н.с.в. Х подчинена закону распределения с плотностью f(x):

а) Найдите коэффициент .

б) Найдите F(x).

в) Постройте графики f(x) и F(x).

17. Н.с.в. Х задана функцией распределения F(x):

а) Найдите плотность вероятности f(x);

б) Постройте графики f(x) и F(x).

в) Найдите Р{0< Х< 2} и Р{2< Х< 5}.

18. Н.с.в. Х задана функцией распределения F(x):

а) Найдите коэффициенты и b.

б) Найдите плотность f(x).

в) Найдите Р{0 Х< }.

19. Н.с.в. Х задана функцией распределения F(x):

Парабола имеет вершину в точке с абсциссой x=2.

а) Найдите коэффициенты a, b и c.

б) Найдите плотность f(x).

в) Постройте графики f(x) и F(x).

г) Найдите P{X> 5}, Р{2 Х< 5}, Р{0 Х< 2, 5}.

20. Задан график функции распределения F(x) н.с.в.X (см. рис.9.10). Найдите аналитическое выражение для f(x) и F(x).

Рис.9.10