Закон биномиального распределения

Пример 1: Пусть всхожесть семян определенного растения составляет 90 %. Найти вероятность того, что из четырех посеянных семян взойдут: а) три; б) не менее трех. Напишите в виде таблицы закон распределения случайной величины Х – всхожесть семян.

Решение. а) в данном случае n = 4; m = 3; p = 0, 9; q = 1 – p; q = 0, 1.Применяя формулу Бернулли, получим:

б) искомое событие А состоит в том, что из четырех семян взойдут или три, или четыре. По теореме сложения вероятностей получим:

=0, 9477

Закон распределения:

n = 4; p = 0, 9; q = 0, 1:

для m = 0 (семена не прорастут) P ₄(0)= qⁿ =(0, 1)⁴=0, 0001;

для m = 1 (прорастет 1 семя) P ₄(1)= npq^{n -1}=4× 0, 9× (0, 1)³=0, 0036;

для m = 2 P ₄(2)= С ₄² pq^{n -1}=6× (0, 9)²× (0, 1)²=6× 0, 81× 0, 01=0, 0486;

для m = 3 P ₄(3)= 0, 2916;

для m = 4 (прорастут все семена) P ₄(4)=0, 6561.

Проверка: 0, 0001+0, 0036+0, 0486+0, 2916+0, 6561=1.

В MS Excel функция БИНОМРАСП применяется для вычисления вероятности в задачах с фиксированным числом тестов или испытаний, когда результатом любого испытания может быть только успех или неудача.

Функция использует следующие параметры:

БИНОМРАСП (число_успехов; число_испытаний; вероятностъ_успеха; интегральная), где

число_успехов – количество успешных испытаний;

число_испытаний – число независимых испытаний (число успехов и число испытаний должны быть целыми числами);

вероятность_ успеха – вероятность успеха каждого испытания;

интегральная – логическое значение, определяющее вид функции:

если параметр имеет значение ИСТИНА (=1), то считается интегральная функция распределения (вероятность того, что число успешных испытаний не менее значения число_ успехов);

если параметр имеет значение ЛОЖЬ (=0), то вычисляется значение функ­ции плотности распределения (вероятность того, что число успешных испытаний в точности равно значению аргумента число_ успехов).

Пример 2: Какова вероятность того, что

а) трое из четырех новорож­денных будут мальчиками?

б) не более трех из четырех новорожденных будут мальчиками?

Решение.

1. Устанавливаем табличный курсор в свободную ячейку, например в А1. Здесь должно оказаться значение искомой вероятности.

2. Для получения значения вероятности воспользуемся функцией: нажимаем на панели инструментов кнопку Вставка функции f_x.

3. В появившемся диалоговом окне Мастер функций – шаг 1 из 2 слева в поле Катего­рия указаны виды функций. Выбираем Статистическая. Справа в поле Функция выбираем функцию БИНОМРАСП и нажимаем на кнопку ОК.

Появляется диалоговое окно функции. В поле Число_s вводим с клавиатуры количество успешных испытаний (3). В поле Испытания вво­дим с клавиатуры общее количество испытаний (4). В рабочее поле Вероятность_s вводим с клавиатуры вероятность успеха в отдельном испытании (0, 5). В поле Интегральная вводим с клавиатуры вид функции распределения – интегральная (0). Нажимаем на кнопку ОК.

а) в ячейке А1 появляется искомое значение вероятности р = 0, 25. Ровно 3 мальчика из 4 новорожденных могут появиться с вероят­ностью 0, 25.

б) Если выяснить вероятность того, что появится не менее трех мальчиков, то в этом случае в рабочее поле Интегральная вводим 1 (вид функции распределения интегральная). Вероятность этого события будет равна 0, 9375.