Нормальное распределение. Нормальное распределение – это совокупность объектов, в кото­рой крайние значения некоторого признака – наименьшее и наибольшее – появ­ляются редко; чем ближе

Нормальное распределение – это совокупность объектов, в кото­рой крайние значения некоторого признака – наименьшее и наибольшее – появ­ляются редко; чем ближе значение признака к математическому ожиданию, тем чаще оно встречается.

Закон распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х называется нормальным, если ее дифференциальная функция f(x) определяется формулой: где а совпадает с математическим ожиданием величины Х: а=М (Х), параметр s совпадает со средним квадратическим отклонением величины Х: s = s(Х). Диаграмма нормального распределения симметрична относительно точки а (математического ожидания). Ме­диана, среднее арифметическое нормального распределения равны тоже а. При этом в точке а функция f (x) достигает своего максимума, который равен .

Пример 3: График плотности вероятности нормального распределения непрерывной величины X изображен на рисунке. Определите математическое ожидание, среднее квадратическое отклонение и максимальное значение дифференциальной функции распределения.

Решение.

По графику можно найти максимальное значение дифференциальной функции распределения, оно составляет 0, 2. Функция достигает максимума в точке x =5, следовательно, математическое ожидание M (X)=5. В точке максимума функция плотности вероятности примет вид: , следовательно,

В MS Excel для вычисления значений нормального распределения используются фун­кция НОРМРАСП, которая вычисляет значения вероятности нормальной функции распределения для указанного среднего и стандартного отклонения.

Функция имеет параметры:

НОРМРАСП (х; среднее; стандартное_откл; интегральная),

х – значения выборки, для которых строится распределение;

среднее – среднее арифметическое выборки;

стандартное_откл – стандартное отклонение распределения;

интегральная – логическое значение, определяющее форму функции. Если интегральная имеет значение ИСТИНА(1), то функция НОРМРАСП возвращает интег­ральную функцию распределения; если это аргумент имеет значение ЛОЖЬ (0), то вычисляется значение функции плотности распределения.

Если среднее = 0 и стандартное_откл = 1, то функция НОРМРАСП возвращает стан­дартное нормальное распределение.

Пример 4: Составить дифференциальную функцию распределения непрерывной величины X, если известно, что величина распределена по нормальному закону с параметрами: математическое ожидание равно -2, а среднее квадратическое отклонение 2. Изобразить полученную функцию с помощью MS Excel.

Решение.

Дифференциальная функция распределения непрерывной величины X, распределенной по нормальному закону, имеет вид: где а – математическое ожидание; s – среднее квадратическое отклонение. По условию задачи математическое ожидание а =-2; среднее квадратическое отклонение s=2, следовательно .

Для построения графика необходимо выбрать начальное значение для переменной x. Серединное значение совпадает с математическим ожиданием а, начальное значение отстоит от серединного не менее чем на s, поэтому примем начальное значение x =-5. Запишем в ячейку A1 значение -5, в ячейку А2 – формулу =А1+0, 2 и «протянем» эту формулу до ячейки А31, в которой получится значение 1. В ячейку B1 внесем формулу: =1/(2*КОРЕНЬ(2*ПИ()))*EXP(-((A1+2)^2)/8) и «протянем» эту формулу до ячейки В31. Выделяем ячейки в диапазоне А1: В31, выбираем Мастер диаграмм ® Точечная диаграмма со значениями, соединенными сглаживающими линиями без маркеров, в результате получаем график плотности вероятности нормального распределения.

Пример 5: Построить график нормальной функции распределения f (x) при x, меняющемся от 19, 8 до 28, 8 с шагом 0, 5, a =24, 3 и =1, 5.

Решение.

1. В ячейку А1 вводим символ случайной величины х, а в ячейку B1 – символ фун­кции плотности вероятности – f (x).

2. Вводим в диапазон А2: А21 значе­ния х от 19, 8 до 28, 8 с шагом 0, 5. Для этого воспользуемся маркером автозаполнения: в ячейку А2 вводим левую границу диапазона (19, 8), в ячейку A3 левую границу плюс шаг (20, 3). Выделяем блок А2: А3. Затем за правый нижний угол протягиваем мышью до ячейки А21 (при нажатой левой кнопке мыши).

3. Устанавливаем табличный курсор в ячейку В2 и для получения значения веро­ятности воспользуемся специальной функцией — нажимаем на панели инстру­ментов кнопку Вставка функции f_x. В появившемся диалоговом окне Мастер функций – шаг 1 из 2 слева в поле Категория указаны виды функций. Выбираем Статистическая. Справа в поле Функция выбираем функцию НОРМРАСП. Нажимаем на кнопку ОК.

4. Появляется диалоговое окно НОРМРАСП. В рабочее поле X вводим адрес ячейки А2 щелчком мыши на этой ячейке. В рабочее поле Среднее вводим с клавиатуры значение математиче­ского ожидания (24, 3). В рабочее поле Стандартное_откл вводим с клавиатуры значение среднеквадратического отклонения (1, 5). В ра­бочее поле Интегральная вводим с клавиатуры вид функции распределения (0). Нажимаем на кнопку ОК.

5. В ячейке В2 появляется вероятность р = 0, 002955. Указателем мыши за правый нижний угол табличного курсора протягиванием (при нажатой левой кнопке мыши) из ячейки В2 до В21 копируем функцию НОРМРАСП в диапазон В3: В21.

6. По полученным данным строим искомую диаграмму нормальной функции рас­пределения. Щелчком указателя мыши на кнопке на панели инструментов вызы­ваем Мастер диаграмм. В появившемся диалоговом окне выбираем тип диаграммы График, вид – развитие процесса по времени или по категориям.

После нажатия кнопки Далее указываем диапазон данных – В1: В21 (с помощью мыши). Проверяем, положение переключателя Ряды в: столбцах. Выбираем закладку Ряд и с помощью мыши вводим диапазон подписей оси X: А2: А21. Нажав на кнопку Далее, вводим названия осей Х, f (x) и нажимаем на кнопку Готово.

Получен приближенный график нормальной функции плотности распределения: