ТЕМА 10: Застосування методів лінійної алгебри та аналітичної геометрії до розв’язування деяких економічних задач.

Велика кількість інформації, яку отримують в результаті різноманітних досліджень (зокрема, економічних), подається у вигляді таблиць. Саме апарат матричної алгебри дає можливість обробляти, аналізувати та застосовувати для моделювання цю інформацію.

Приклад. Підприємство виробляє три види продукції, витрачаючи два типи ресурсів. Норми витрат визначаються матрицею , елементи якої показують кількість одиниць -го ресурсу, який витрачається на виробництво однієї одиниці -го виду продукції. План випуску (одиниць продукції) визначається матрицею . Знайти: а) планові витрати типів ресурсів; б) повну вартість (в грн.) витрачених ресурсів, якщо ціни на одиницю першого та другого типу ресурсів відповідно становили 7 та 9 грн.

Розв’язування. Позначимо (од.) – витрати першого, а (од.) – другого ресурсів. Дістанемо матрицю - матрицю планових витрат ресурсів. Витрати ресурсів на все виробництво знаходяться як сума добутків об’ємів випуску на норми витрат, тобто:

.

Отже, для виконання плану випуску потрбно буде витратити (од.) першого та (од.) другого ресурсу.

За умовою ціна одиниці першого ресурсу (грн), другого - (грн). Введемо матрицю цін ресурсів . Тоді повна вартість (грн) витрачених ресурсів дорівнюватиме добутку матриць (скалярному добутку векторів – матриць):

.

Приклад. Підприємство виробляє два види продукції, витрачаючи два типи ресурсів. Норми витрат визначаються матрицею , елементи якої дорівнюють кількості одиниць -го типу ресурсу, який витрачається на виробництво однієї одиниці -го виду продукції. Наявні запаси ресурсів (в одиницях) визначаються матрицею . Знайти план випуску (одиниць продукції) при умові повного використання ресурсів.

Розв’язування. Нехай (од.) – план випуску першого виду продукції, а (од.) – другого виду. Тоді - матриця планових випусків. Витрати ресурсів на все виробництво знаходяться як сума добутків об’ємів випуску на норми витрат, тобто:

.

За умови повного використання ресурсів повинна виконуватись рівність:

,

яка є матричною формою запису системи

.

Розв’язуючи систему, дістаємо план випуску: (од.), (од.).

Поняття лінійного векторного простору має широке застосування, наприклад, в теорії корисності, теорії споживання при вивченні поведінки споживачів і виробників на ринках товарів та послуг, виробничих ресурсів тощо. Методи аналітичної геометрії дозволяють давати геометричну інтепретацію економіко-математичних моделей.

Приклад. Споживач має прибуток у розмірі 600 грн і хоче витратити його на придбання двох товарів. Ціна одиниці першого товару становить 20 грн, а другого – 30 грн. Записати аналітично та зобразити графічно бюджетне обмеження та бюджетну множину споживача. Вказати декілька допустимих наборів товарів.

Розв’язування. Нехай споживач бажає придбати (од.) першого товару і (од.) – другого, які, очевидно, можуть набувати лише невід’ємних значень. Тоді - вектор (матриця-рядок) із невід’ємними координатами можливих наборів товарів. Ці вектори можна інтерпретувати як точки першого октанта площини . Враховуючи ціни одиниці першого товару (грн) та другого (грн), можна записати витрати на придбання набору товарів: (грн). Зрозуміло, що витрати не повинні перевищувати доходу споживача: . Таким чином, бюджетна множина визначається системою нерівностей:

Графічний образ лінійної нерівності - це множина точок однієї із півплощин, на які поділяє всю координатну площину гранична пряма - бюджетне обмеження. Тому графічним образом бюджетної множини у нашому прикладі є трикутник АОВ:

Зауваження. При зростанні доходу або зниженні цін бюджетне обмеження зсовується від початку координат і бюджетна множина збільшується (справедливою є і обернена ситуація).

Приклад. На ринку деякого товару залежності обсягів попиту та пропозиції від ціни за одиницю товару визначаються формулами: . Зобразити на координатній площині ринковий простір, знайти рівноважну ціну та охарактеризувати сектори ринку.

Розв’язування. На координатній площині побудуємо графіки лінійних залежностей попиту та пропозиції від ціни, які, очевидно, можуть набувати лише невід’ємних значень:

Ординати точок ринкового простору (із першого октанта) характеризують або можливість виробників випустити, або бажання споживачів купити певну кількість товару за дану ціну . Рівноважна ціна повинна задовольняти рівняння рівноваги попиту та пропозиції: , тобто , звідки . Характеристика секторів ринку:

Приклад. Транспортні витрати (в грн) перевезення одиниці вантажу залізничним () та автомобільним () транспортом на відстань (в десятках км) визначаються формулами: . Який економічний сенс коефіцієнтів у цих формулах? Побудувати графіки транспортних витрат та з’ясувати економічну доцільність перевезень тим чи іншим видом транспорту.

Розв’язування. Залежність транспортних витрат від відстані має вигляд лінійної функції , в якій коефіцієнт характеризує витрати перевезення однієї одиниці вантажу на один десяток км, а - сталі витрати, які не залежать від відстані (витрати на зберігання, перевантаження тощо). Із економічного сенсу випливає невід’ємність змінних та , тому графіками залежностей будуть частини прямих, розташовані у першому октанті системи координат :

Із графічної ілюстрації видно, що на відстані до 100км дешевше перевозити автомобільним транспортом, а на відстані більше 100км – залізничним.