Определение погрешности косвенных измерений

Рассмотрим косвенно определяемую величину U=U(x, y, z), являющуюся функцией непосредственно определяемых величин x, y, z, которые описываются классическим распределением вероятности. Если x₀, y₀, z₀ – истинные значения величин x, y, z, то истинное значение U₀ определяется выражением

(3.1)

Анализ работ практикума показывает, что все косвенные измерения по поведению истинных значений можно разделить на 3 класса (табл. 1).

Таблица 1

К первому классу косвенных величин относятся величины, при определении которых их истинное значение U₀ и истинные значения x₀, y₀, z₀ прямых измерений остаются неизменными. Если методика измерений такова, что хотя бы одна из величин x₀, y₀, z₀ изменяется, а истинное значение косвенного измерения постоянно, то такие измерения относятся к измерениям второго класса. У косвенных измерений третьего класса изменяются истинные значения не только прямых, но и косвенных измерений.

Примером первого класса может служить объем твердого тела правильной геометрической формы, определяемый в неизменных условиях с помощью линейных измерений. Сопротивление, вычисляемое из закона Ома I=Δ φ /R, если напряжение и ток меняются, относится ко второму классу. Представителем третьего класса косвенных величин является индуктивность катушки с ферромагнитным сердечником, определяемая при различных токах в обмотке.

Данная классификация косвенных измерений методически целесообразна. При обработке каждого класса свой подход, свои возможные варианты.

Рассмотрим косвенные измерения I класса.

Можно показать [3, 5], что абсолютные погрешности Δ x, Δ y, Δ z прямых измерений x, y, z связаны с абсолютной погрешностью косвенных измерений Δ U соотношением

(3.2)

где .

………………………..

– значение частной производной функции U по х, рассчитан

ное при средних значениях прямых измерений.

………………………..

При определении частной производной д/дх все переменные, кроме х, считаются постоянными величинами. Аналогично определяются частные производные по другим переменным. Например, для функции f=x+y дf/дx=1, дf/дy=1; для функции с=х-у дс/дх=1, дс/ду=-1. Учтя эти значения, согласно соотношению (3.2) имеем , , т.е. Δ f=Δ c. Это значит, что при наложении двух последовательностей погрешностей результирующая погрешность равна , что и объясняет соотношение (2.8). По этой же причине

(3.3)

Если в формуле (3.2) заменить Δ x, Δ y … на Δ х_сл, Δ у_сл, …, получим Δ U_сл, вклад случайных погрешностей в погрешность косвенного измерения. При замене Δ x, Δ y … на Δ х_пр, Δ у_пр, …, соотношение (3.2) будет определять Δ U_пр, приборную погрешность косвенных измерений. Случайную погрешность Δ U_сл можно определить не только с помощью уравнения (3.2), но и с помощью соотношения (3.4):

(3.4)

Для равноточных косвенных измерений I класса среднее значение U_ср можно рассчитать двумя способами:

(3.5) и (3.6)

Рекомендуют, как правило, второй способ, требующий меньше вычислений.

Относительная погрешность косвенного измерения U может быть рассчитана по определяющей формуле

(3.7)

или по формуле

, (3.8)

которая получена из соотношения (3.7) после подстановки в него уравнения (3.2).

На основании выражения (3.8) можно предложить правило определения формулы относительной погрешности (правило 1):

«Чтобы определить формулу относительной погрешности косвенно определяемой величины, нужно выражение, определяющее ее, прологарифмировать, продифференцировать, знак дифференциала d заменить знаком абсолютной погрешности Δ, возвести каждый член полученного выражения в правой части в квадрат и из суммы квадратов этих членов извлечь квадратный корень».

Для формулы объема цилиндра применение правила 1 дает следующее: ; (3.9)

; (3.10)

; (3.11)

; (3.12)

. (3.13)

Следует отметить, что табличные значения и универсальные постоянные (π, γ, с…), как и любые экспериментально определенные величины, задаются доверительным интервалом, внутри которого они непрерывны и дифференцируемы.

Для величины, определяемой произведением или отношением других величин, проще определять формулу относительной, а не абсолютной погрешности.

Изобразим возможные варианты определения абсолютной погрешности косвенных измерений в виде граф-схемы:

(3.2) (3.4)

(3.2) Δ х → Δ х_сл

I кл. Δ U (3.3) Δ U_сл→ (3.2) Δ х → Δ х_сл Δ U_пр ………...

(3.7) ………..

(3.7) (3.7)..………

III кл.

ε по правилу 1 Δ х → (2.8)

интуиция

…………….

Рис.1

Возможные варианты обработки результатов измерений очерчены рамкой. За ее пределами отмечены особенности определения отдельных величин. Как видим из граф-схемы, абсолютную погрешность косвенных измерений I класса можно определить с помощью выражений (3.2), (3.2), (3.7). Последний вариант предполагает знание относительной погрешности ε, расчетную формулу которой рекомендуется получать по правилу I. Последний способ определения абсолютной погрешности Δ U предпочтительнее из-за меньшего объема вычислений. Абсолютные погрешности прямых измерений в расчетной формуле величины ε определяются соотношениями вида (2.8) или, при несовершенной методике, интуитивно.

Для косвенных измерений II класса среднее арифметическое значений прямых измерений теряет смысл. Поэтому пути, определяемые формулами (3.2) и (3.7) (см. рис. 1), не могут быть использованы. В результате для косвенных измерений II класса имеем одну возможность определения абсолютной погрешности Δ U на основании соотношения (3.3).

Δ U_сл → (3.4)

II кл. – – – → Δ U → (3.3) – – – – (3.2) х_ср→ х_к

…….

Δ U_пр Δ х_пр

(3.7) Δ х

интуиция

…………………

Рис. 2

Приборную погрешность косвенного измерения Δ U_пр предлагается оценивать с помощью формул (3.2) или (3.7) по результатам одной серии прямых измерений x_к, у_к, z_к. Очевидно, чтобы не уменьшить надежность доверительного интервала (U_cp + Δ U), нужно брать такую серию измерений, для которой Δ U_np имеет наибольшее значение. Среднее значение косвенных измерений II класса можно определить только по формуле (3.5).

Для косвенных измерений III класса теряет смысл понятие среднего арифметического значения и для косвенных измерений. Поэтому в этом случае можно определить только вклад приборных погрешностей для каждого измерения. Возможные варианты их определения обозначены на рис. 1 скобкой |____|.