Примеры обработки результатов измерений

Пример 1. Определение объема цилиндра с помощью штангенциркуля.

Предваряющий измерения анализ систематических погрешностей проведен в разд. 5. Измерение диаметра D и высоты h цилиндра проведем в разных местах и различных положениях цилиндра. Результаты измерений и вычислений занесем в табл. 2 и 3, где Δ D_i=D_cp-D_i и Δ h_i=h_cp-h_i – разности между средним и измеренным значением.

Таблица 2

№	Di, мм	Δ D i , мм	Δ Di2, мм2		Р и t
	21, 2	0, 1	0, 01	= =0, 045	P=0, 95 t=2, 8
	21, 4	0, 1	0, 01
	21, 3	0, 0	0, 00
	21, 2	0, 1	0, 01
	21, 4	0, 1	0, 01
Dср =21, 3	Δ Dпр =0, 1 мм	Δ Dcл =0, 13 мм

D =(21, 3 + 0, 16) мм

ε =0, 7% (9.1)

Р =0, 95

где абсолютная погрешность Δ D =0, 16 мм определяется соотношением .

Таблица 3

№	hi, мм	Δ hi, мм	(Δ hi)2, мм2		Р и t
	62, 1	0, 1	0, 01	0, 065	P=0, 95 t=2, 8
	62, 3	0, 2	0, 04
	62, 1	0, 0	0, 00
	61, 9	0, 2	0, 04
	62, 1	0, 0	0, 00
hср =62, 1мм	Δ hпр =0, 1 мм	Δ hсл =0, 18 мм

h =(62.1 + 0, 21) мм

ε =0, 34% (9.2)

Р =0, 95

Вычисляем среднее значение объема цилиндра:

(9.3)

и относительную погрешность (см. формулу 3.13):

; (9.4)

. (9.5)

Первые два слагаемых подкоренного выражения меньше последнего более чем в 5 раз. Ими при вычислении можно пренебречь. Вычисляем абсолютную погрешность объема:

→ ; (9.6)

. (9.7)

Записываем окончательный результат:

V =(221 + 3, 3)*10² мм³;

ε =1, 5%; (9.8)

Р =0, 95.

Убедимся в достоверности полученного значения объема цилиндра. Для этого его погрузим в мензурку с водой. Увеличение «объема воды» составило 22 мл, что в пределах погрешности измерений соответствует рассчитанному значению объема цилиндра.

Пример 2. Определение индуктивности катушки.

Индуктивность катушки определим из соотношения

, (9.9)

где Z – полное сопротивление катушки;

R – ее омическое сопротивление;

ω – циклическая частота переменного тока.

Полное сопротивление Z определим из закона Ома I_эф=U_эф/Z. (9.10)

Проведем измерения силы тока I_эф в электрической цепи (рис. 6) при различных напряжениях.

Результаты измерений и вычислений внесем в таблицу. Отметим полное сопротивление Z – косвенное измерение II класса

Рис. 6 Таблица 4

Чтобы найти абсолютную погрешность Δ Z, необходимо рассчитать и Δ Z_пр, т.е. вклад приборных погрешностей и Δ Z. Из (9.10) на основании правила I имеем, что

. (9.11)

Для вольтметра на 150 В класса точности 0, 5 Δ U_np= 0.005*150В=0, 75В, для амперметра на 1 А класса точности 1, 5 Δ I_np =0, 015*1А=0, 015А. Учтя это, можно записать:

. (9.12)

Отсюда

. (9.13)

Так как , (9.14)

то в нашем случае

. (9.15)

Таким образом, имеем

Z =(101 + 5, 5) Ом;

ε =5%; (9.16)

Р =0, 95.

R – определяем с помощью моста постоянного тока. Учитывая, что погрешность моста 0, 1%, окончательный результат можно записать в виде

R =(41, 4 + 0, 4) Ом;

ε =0, 10%; (9.17)

Р =0, 95.

Для сетевого переменного тока

ω =2π ν, (9.18)

где ν =(50 + 0, 1) Гц.

Зная R, Z, ω, легко рассчитать из уравнения (9.9) индуктивность L:

. (9.19)

Для определения точности L выведем формулу относительной погрешности. В соответствии с правилом определения относительной погрешности (правило 1) из формулы (9.9) имеем:

, (9.20)

, (9.21)

. (9.22)

Подставив значения, получим:

. (9.23)

Легко заметить, что последними тремя членами подкоренного выражения можно пренебречь. Вычисление ε и Δ L производится устно. В результате наших измерений и вычислений мы получим, что

L =(0, 29 + 0, 018) Гн;

ε =6%; (9.24)

Р =0, 95.

Более детальный анализ методики измерений показывает, что мы допускаем систематическую погрешность при определении Z. В самом деле, мы определили Z как отношение показаний вольтметра U_эф к показаниям амперметра I_эф. Но из закона Ома

Z=U_эф/I_эф’, (9.25)

где I_эф’ – сила тока, идущего через катушку. Очевидно, что I_эф’ I_эф. Нетрудно показать, что если пренебречь индуктивным сопротивлением вольтметра в схеме (рис. 6), то

, (9.26)

где I_эф – показания амперметра;

U_эф – показания вольтметра;

R_V – сопротивление вольтметра.

При R_V → ¥ Z=U_эф/I_эф. В нашем примере для U_эф =94В, I_эф =0, 95А, Z =99, 2Ом. Сравнивая с данными табл. 4, видим, что систематическая погрешность Δ Z_сист =0, 2 Ом. Эта систематическая погрешность значительно меньше случайной и ей можно пренебречь. Более того, взяв различные напряжения, мы эту систематическую погрешность частично обратили в случайную, частично учли.

Вставив в катушку сердечник, мы получили I_эф =0, 4А, U_эф =240В. Вольтметр стоял на пределе 300В, R_V =40кОм. Если вычислить по формуле (9.9), получим Z =609Ом, т.е. погрешность первоначальной методики 9Ом или 1, 5%, что сравнимо с ошибкой величины Z (9.16). Следует помнить слова Менделеева Д. И. о том, что достойны внимания и обработки только те данные, где все влияния описаны, или, несомненно, приняты во внимание, т.е. вот почему, прежде чем измерять, необходимо тщательно проанализировать методику измерений, выявить и учесть систематические погрешности.

Для доказательства достоверности значений индуктивности катушки определите ее другим методом, например, с помощью моста Максвелла.

ЛИТЕРАТУРА

1. Агекян Т.А. Основы теории ошибок для астрономов и физиков.– 2-е изд. – М: Наука, 1972. –172с.

2. Касандрова О.Н, Лебедев В.В. Обработка результатов наблюдений. – М.: Наука, 1970. – 104с.

3. Зайдель А.Н. Ошибки измерений физических величин. –Л.: Наука, 1974. –108с.

4. Сквайрс Дж. Практическая физика/ Пер. с англ. под ред. Е.М. Лейкина. –М.: Мир, 1971. –246с.

5. Сурикова Е.И. Погрешности приборов и измерений. –Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1975. –160с.

6. Румшинский Л.З. Математическая обработка результатов эксперимента. –М.: Наука, 1971. –192с.

7. Рабинович С.Г. Погрешности измерений. –Л.: Энергия, 1978. –262с.

8. Соловьев В.А., Яхонтова В.Е. Элементарные методы обработки результатов измерений. –Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1977. –72с.

9. Кортнев А.В. и др. Практикум по физике. –М.: Высшая школа, 1963. –516с.

10. Лабораторный практикум по физике: Учебное пособие для студентов втузов./Под ред. А.С. Ахматова. –М.: Высшая школа, 1980. –360с.

СОДЕРЖАНИЕ.

1. Классификация измерений и их ошибок 1

2. Вероятность. Плотность вероятности. Доверительный

интервал и доверительная вероятность 2

3. Определение погрешности косвенных измерений 5

4. Приборы и их погрешности 9

5. Выявление, оценка и учет систематических погрешностей 14

6. Оценка истинного значения величины и достоверность

результатов измерений 17

7. Графики 18

8. Вычисления 20

9. Примеры обработки результатов измерений 21

Литература 26