Производная. Правила и формулы дифференцирования.

НЕДЕЛЯ 7

Лекция 13.

Напомним, что приращением функции у = f (х) называется разность , где - приращение аргумента х.

Из рисунка видно, что (1).

Предел отношения приращения функции к приращению аргумента при произвольном стремлении кнулю называется производной функции у=f (х)в точке х и обозначается одним из следующих символов: у ', f '(х), .

Рис. 1.

Таким образом, по определению

(2)

Если указанный в формуле (2) предел существует, то функцию f (х)называют дифференцируемой в точке х, а операцию нахождения производной у ' –дифференцированием.

Из равенства (1) и определения производной, (см. формулу (2)) следует, что производная в точке х равна тангенсу угла наклона касательной, проведенной в точке М (х, у), к графику функции у = f (х) (см. рис. 1).

Легко показать, что с физической точки зрения производная у '= f '(х) определяет скорость изменения функции в точке х относительно аргумента х.

Если С — постоянное число и и=и(х), v=v (x) – некоторые дифференцируемые функции, то справедливы следующие правила дифференцирования:

1) (С)'=0;

2) (х)'.=1;

3) (и v)'= и ' v ';

4) (С и)'= С и '

5)(и v) '=и' v+иv';

6) ;

7) ;

8) если у = f (и)и u = (х), т. Е. y = f ( (x)) – сложная функция, составленная из дифференцируемых функций, то

или ;

9) если для функции у = f (х) существует обратная дифференцируемая функция х=g(у) и , то f '(х) = .

На основании определения производной и правил дифференцирования можно составить таблицу производных основных элементарных функций:

1)	2) ()' = lnа•u'
3) (е u)'=е u u '	4)
5)	6) (sin u)’= соs uu ’
7) (соs u)’=-sin u u ’	8)
9) ;	10) (arcsin u)'=
11)	12)
13)

Уравнение касательной к кривой у = f (х) в точке М о(х ₀; f(х ₀))

Уравнение нормалик кривой у = f (х)в точке М о(х ₀; f (х ₀)):

При f ^/(х ₀)=0 уравнение нормали имеет вид х = х ₀.

Углом между кривыми в точке их пересеченияназывают угол между касательными к кривым в этой точке.

Логарифмической производной функции у = f (х)называется производная от логарифма этой функции, т. Е.

(ln f (x))’= f ’(x)/ f (x).

Последовательное применение логарифмирования и дифференцирования функций называют логарифмическим дифференцированием. В некоторых случаях предварительное логарифмирование функции упрощает нахождение ее производной. Например, при нахождении произ­водной функции у=и^v, где и=u(х), v=v(х), предварительное логарифмирование приводит к формуле

у =и^v ln и v' + v и ^{v -1} и'.

Если зависимость между переменными у и х задана в неявном виде уравнением F (х, у)=0, то для нахождения производной у' = в простейших случаях достаточно продифференцировать обе части уравнения F (х, у)=0, считая у функцией от х, и из полученного уравнения, линейного относительно у ', найти производную.

Литература: К.А. Хасеинов Каноны математики. Стр.155-167

Лекция 14.