Достаточные признаки монотонности функции.

Если " на (а, b).

Точка называется точкой максимума (минимума) функции y= f(x), если функция непрерывна в этой точке и можно указать такую d-окрестность точки , что для всех х , принадлежащих этой окрестности, выполняется неравенство

При этом значение называется максимумом (max) (минимумом (min)) функции. Максимум и минимум функции называются экстремумом.

Необходимое условие существования экстремума. Если в точке функция непрерывна и имеет экстремум, то f’() = 0 или производная в этой точке не существует.

Точки, в которых производная равна нулю или не существует, называются критическими точками первого рода.

Достаточный признак существования экстремума.

Пусть функция y=f(x) определена и непрерывна в некоторой окрестности точки , включая саму точку, и производная f’() существует в окрестности этой точки, за исключением, быть может, самой точки .

Тогда, если:

1) (знак +) при х < и (знак -) при х > , то функция в точке достигает максимума;

2) (знак -) при х < и (знак +) при х > , то функция в точке достигает минимума;

3) f’() не меняет знак, то экстремума нет.

Пример. Найти интервалы монотонности и экстремумы функции

Решение. Область определения – вся числовая ось. D(f) = (-¥, ¥)

Находим производную f’(x). =

Решая уравнение , находим критические точки первого рода, т.е. точки, в которых производная либо равна нулю, либо не существует.

критические точки первого рода.

х	(-¥, -1)	-1	(-1, 1)		(1, ¥)
y’	-		+		-
y		min		max

Интервалы (-¥, -1), (1, ¥) – интервалы убывания. Интервал (-1, 1) – интервал возрастания. В точке х = -1 функция имеет минимум, в точке х = 1 – максимум.