Точки, в которых или вторая производная в этих точках не существует, называются критическими точками второго рода.

Достаточные условия существования точки перегиба.

Если при переходе через критическую точку слева направо вторая производная меняет знак, то имеется перегиб; если перемены знака нет, то перегиба нет.

Пример. Найти интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба функции y= .

Решение. Найдем область определения функции. D(f) =(-¥, +¥)

Найдем вторую производную Найдем критические точки второго рода. - критическая точка.

(-2, -2 ) – точка перегиба.

(-¥, -2) - интервал выпуклости, (-2, +¥) - интервал вогнутости.

Асимптоты графика функции.

При исследовании функции необходимо установить ее поведение при удалении текущей точки графика функции от начала координат. В некоторых случаях это можно сделать с помощью прямой, к которой неограниченно приближается текущая точка графика функции при удалении ее от начала координат.

Асимптотой графика функции y = f(x) называется прямая, расстояние от которой до текущей точки графика функции стремится к нулю при неограниченном удалении ее от начала координат.

Различают вертикальные, горизонтальные и наклонные асимптоты. Пусть М(х, у) – текущая точка графика функции. Точка М (х, у) может удаляться от начала координат следующим образом:

1) х® а, у® ¥; 2) х®¥, у® b, 3) x®¥, y®¥.

В первом случае имеем , и прямая x = a является вертикальной асимптотой.

Во втором случае и прямая y = b будет горизонтальной асимптотой.

В третьем случае график функции y = f(x) имеет наклонную асимптоту, уравнение которой имеет вид y = kx +b.

Необходимое и достаточное условие существование невертикальных асимптот устанавливается с помощью теоремы:

Теорема. Для того чтобы прямая y = kx +b была асимптотой графика функции , необходимо и достаточно существование пределов

Если не существует хотя бы один из пределов, то невертикальных асимптот нет.

Пример. Найти асимптоты графика функции

Решение. Точки х = 1 и х = -1 являются точками разрыва второго рода данной функции. Так как и , то прямые являются вертикальными асимптотами.

Найдем невертикальные асимптоты. При получаем

,

Следовательно, правой асимптотой является прямая у = х.

Аналогично, при имеем.

,

Левой асимптотой графика функции является прямая у = - х

Литература: К.А. Хасеинов Каноны математики. Стр.204-209

Практическое занятие 8

Найти интервалы монотонности и экстремумы функций:

1.

Отв. A) убывает, возрастает,

B) возрастает, убывает,

C) возрастает, убывает,

D) возрастает, убывает,

E) возрастает, убывает,

2.

Отв. A) убывает, возрастает,

B) возрастает, убывает,

C) возрастает, убывает,

D) возрастает, убывает,

E) возрастает, убывает,

3.

Отв. A) убывает, возрастает,

B) возрастает, убывает,

C) возрастает, убывает,

D) возрастает, убывает,

E) интервал возрастания, экстремумов нет.

4. 5.

6.

Отв. A) убывает, (0, 2) – возрастает,

B) возрастает, (-2, 0) – убывает,

C) возрастает, (0, 2) – убывает,

D) возрастает, (0, 3) – убывает,

E) возрастает, (1, 2) – убывает,

7. 8.

9. 10.

11. 12.

Найти интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба графиков функции:

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

Найти асимптоты графика функции.

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

Пример. Исследовать функцию и построить ее график.

Решение. 1) Функция определена при х > 0. (0, +¥) – область определения.

2). Исследуем поведение функции на границе области определения.

3) Из предыдущего пункта следует, что прямая х = 0 является вертикальной асимптотой, а прямая у = 0 – горизонтальной асимптотой. Будем находить невертикальные асимптоты y = kx +b.

Так как , то наклонной асимптоты нет; прямая у = 0 – горизонтальная асимптота.

4) Найдем точку пересечения c осью О х. Если у = 0, то Точка Р (1; 0) есть точка пересечения графика функции с осью О х.

5) Функция будет функцией общего вида, так как область определения функции не является симметричной относительно начала координат, и поэтому не выполняются условия четности и нечетности функции. Функция непериодическая.

6) Для нахождения интервалов монотонности и экстремумов функции найдем критические точки. Для этого найдем первую производную

Решив уравнение найдем критические точки, подозрительные на экстремум. - критическая точка.

Исследуем знак первой производной при переходе через критическую точку в сторону возрастания х. Результаты исследования представим в виде таблицы.

х	(0, e)	e	(e, ¥)
y’	+		-
у	возрастает	max	убывает

, - интервал возрастания, интервал убывания.

6) Для нахождения интервалов выпуклости и вогнутости и исследования на перегиб найдем вторую производную.

Решив уравнение найдем критические точки второго рода.

критическая точка второго рода.

Исследуем знак второй производной при переходе через критическую точку в сторону возрастания х. Результаты исследования представим в виде таблицы.

х	(0, )
y ”
y	выпуклый	Пере-гиб	вогнутый

точка перегиба графика функции.

8) Используя результаты исследования, строим график функции

у

O 1 e x