Задачи Коши

При изучении способов решения дифференциальных уравнений приближенными методами основной задачей считается задача Коши.

Рассмотрим наиболее популярный метод решения задачи Коши – метод Рунге-Кутта. Этот метод позволяет строить формулы расчета приближенного решения практически любого порядка точности.

Выведем формулы метода Рунге-Кутта второго порядка точности. Для этого решение представим куском ряда Тейлора, отбрасывая члены с порядком выше второго. Тогда приближенное значение искомой функции в точке x₁ можно записать в виде:

(2)

Вторую производную y" (x₀) можно выразить через производную функции f(x, y), однако в методе Рунге-Кутта вместо производной используют разность

соответственно подбирая значения параметров

Тогда (2) можно переписать в виде:

y₁=y₀ + h [β f(x₀, y₀) + α f(x₀ + γ h, y₀ + δ h)], (3)

где α, β, γ и δ – некоторые параметры.

Рассматривая правую часть (3) как функцию аргумента h, разложим ее по степеням h:

y₁=y₀ +(α + β) h f(x₀, y₀) + α h²[γ f_x(x₀, y₀) + δ f_y(x₀, y₀)],

и выберем параметры α, β, γ и δ так, чтобы это разложение было близко к (2). Отсюда следует, что

α + β =1, α γ =0, 5, α δ =0, 5 f(x₀, y₀).

С помощью этих уравнений выразим β, γ и δ через параметры α, получим

y₁=y₀ +h[(1 - α) f(x₀, y₀) + α f(x₀+ , y₀+ f(x₀, y₀)], (4)

0 < α ≤ 1.

Теперь, если вместо (x₀, y₀) в (4) подставить (x₁, y₁), получим формулу для вычисления y₂ – приближенного значения искомой функции в точке x₂.

В общем случае метод Рунге-Кутта применяется на произвольном разбиении отрезка [x₀, X] на n частей, т.е. с переменным шагом

x₀, x₁, …, x_n; h_i = x_i+1 – x_i, x_n = X. (5)

Параметры α выбирают равными 1 или 0, 5. Запишем окончательно расчетные формулы метода Рунге-Кутта второго порядка с переменным шагом для α =1:

y_i+1=y_i +h_i f(x_i + , y_i+ f(x_i, y_i)), (6.1)

i = 0, 1, …, n-1.

и α =0, 5:

y_i+1=y_i + [f(x_i, y_i) + f(x_i+ h_i, y_i+ h_i f(x_i, y_i))], (6.2)

i = 0, 1, …, n-1.

Наиболее употребляемые формулы метода Рунге-Кутта – формулы четвертого порядка точности:

y_i+1=y_i + (k₁+ 2k₂+ 2k₃+ k₄),

k₁=f(x_i, y_i), k₂= f(x_i + , y_i+ k₁), (7)

k₃= f(x_i + , y_i+ k₂), k₄= f(x_i +h, y_i+hk₃).

Для метода Рунге-Кутта применимо правило Рунге для оценки погрешности. Пусть y(x; h) – приближенное значение решения в точке x, полученное по формулам (6.1), (6.2) или (7) с шагом h, а p – порядок точности соответствующей формулы. Тогда погрешность R(h) значения y(x; h) можно оценить, используя приближенное значение y(x; 2h) решения в точке x, полученное с шагом 2h:

(8)

где p=2 для формул (6.1) и (6.2) и p=4 для (7).

Уточненное решение пишем в виде

. (9)

В алгоритмах с автоматическим выбором шага предварительно задают погрешность в виде положительного параметра ε, и на каждом этапе вычисления следующего значения y_i+1 подбирают такой шаг h, при котором выполняется неравенство

, (10)

Метод Рунге-Кутта применим и к задаче Коши для системы m дифференциальных уравнений первого порядка с m неизвестными функциями

x (x₀, X), (11)

y₁(x₀)=y_{1, 0}, y₂(x₀)=y_{2, 0}, …, y_m(x₀)=y_{m, 0}. (12)

Приведем для задачи (11), (12) расчетные формулы метода Рунге-Кутта четвертого порядка. Пусть требуется найти систему m функций y₁(x), y₂(x), …, y_m(x), удовлетворяющих в интервале (x₀, X) дифференциальным уравнениям (11), а в точке x₀ – начальным условиям (12). Предположим, что отрезок [x₀, X] разбит на N частей:

x_i= x₀+ i h_i,

Тогда каждую l -ю функцию y_l(x) можно приближенно вычислять в точках x_i+1 по формулам Рунге-Кутта

K_{l, 1}=f_l(x_i, y_{1, i}, y_{2, i}, …, y_{m, i}), i=1, 2, …, m,

K_{l, 2}=f_l(x_i + , y_{1, i} + K_{1, 1}, y_{2, i} + K_{2, 1}, …, y_{m, i} + K_{m, 1}), i=1, 2, …, m,

K_{l, 3}=f_l(x_i + , y_{1, i} + K_{1, 2}, y_{2, i} + K_{2, 2}, …, y_{m, i} + K_{m, 2}), i=1, 2, …, m, (13)

K_{l, 4}=f_l(x_i + h, y_{1, i} + hK_{1, 3}, y_{2, i} + hK_{2, 3}, …, y_{m, i} + hK_{m, 3}), i=1, 2, …, m,

Y_{l, i+1} = y_{l, i} + (K_{l, 1} + 2 K_{l, 2} + 2 K_{l, 3} + K_{l, 4}), i=1, 2, …, m,

Здесь через y_{l, i} обозначается приближенное значение функции y_l(x) в точке x_i.

Обратите внимание на порядок вычислений по формулам (13). На каждом шаге сначала вычисляются коэффициенты K_{l, i} в следующем порядке:

K_{1, 1}, K_{2, 1}, …, K_{m, 1},

K_{1, 2}, K_{2, 2}, …, K_{m, 2},

K_{1, 3}, K_{2, 3}, …, K_{m, 3},

K_{1, 4}, K_{2, 4}, …, K_{m, 4},

и лишь затем приближенные значения функций y_{1, i+1}, y_{2, i+1}, …, y_{m, i+1}.

Задачи Коши для дифференциальных уравнений n -го порядка

y⁽ⁿ⁾=f(x, y, y', …, y^(n-1)), x (x₀, X), (14)

y(x₀)=y₀, y'(x₀)=y_{1, 0}, …, y^(n-1)(x₀)=y_{n-1, 0} (15)

сводятся к задаче Коши для системы дифференциальных уравнений первого порядка с помощью замены переменных

z₀= y, z₁= y', …, z_n-1= y^(n-1). (16)

Учитывая (16), из уравнения (14) получим систему дифференциальных уравнений

(17)

Начальные условия (15) для функций z_l переписываются в виде

z₀(x₀)= y₀, z₁(x₀)= y_{1, 0}, …, z_n-1(x₀)= y_{п-1, 0}. (18)

Запишем для полученной системы метод Рунге-Кутта:

z_{l, i+1}= z_{l, i} + (K_{l, 1}+ 2K_{l, 2}+ 2K_{l, 3}+ K_{l, 4}), (19)

i=0, 1, …, N, l=0, 1, …, n-1.

Для вычисления коэффициентов K_{l, 1}, K_{l, 2}, K_{l, 3} и K_{l, 4} имеем следующие формулы:

K_{0, 1}=z_{1, i},

K_{1, 1}=z_{2, i,}

…………

K_{n-1, 1}= f(x_i, z_{0, i}, z_{1, i}, …, z_{n-1, i},),

K_{0, 2}= z_{1, i}+ K_{1, 1},

K_{1, 2}= z_{2, i}+ K_{2, 1},

…………………

K_{n-1, 2}= f(x_i+ , z_{0, i}+ K_{0, 1}, z_{1, i}+ K_{1, 1}, …, z_{n-1, i}+ K_{n-1, 1}),

K_{0, 3}= z_{1, i}+ K_{1, 2},

K_{1, 3}= z_{2, i}+ K_{2, 2},

……………………

K_{n-1, 3}= f(x_i+ , z_{0, i}+ K_{0, 2}, z_{1, i}+ K_{1, 2}, …, z_{n-1, i}+ K_{n-1, 2}),

K_{0, 4}= z_{1, i}+ hK_{1, 3},

K_{1, 4}= z_{2, i}+ hK_{2, 3},

……………………

K_{n-1, 4}= f(x_i+ h, z_{0, i}+ hK_{0, 2}, z_{1, i}+ hK_{1, 2}, …, z_{n-1, i}+ hK_{n-1, 2}).