Методические указания к изучению курса

При изучении курса начертательной геометрии рекомендуется внимательно озна­комиться с программой, приобрести необхо­димую учебную литературу, организовать рабочее место и обратить особое внимание на рабочий план, который является первым помощником студентов в организации само­стоятельного изучения курса, так как под­сказывает, какую тему нужно изучить за не­делю, какой учебный материал проработать и какое графическое задание выполнить. Правильно построенные самостоятельные занятия позволяют сэкономить время и получить хорошие результаты.

При само­стоятельной организации учебного процесса следует руководствоваться следующим:

1) изучать начертательную геометрию строго последовательно и систематически;

2) проработанные теоретические поло­жения обязательно подкреплять практиче­ским решением задач;

3) уделять серьезное внимание вопросам, предложенным данными мето­дическими указаниями;

4) проявлять максимальную самостоя­тельность на занятиях, так как начертатель­ную геометрию заучить нельзя, ее надо по­нимать;

5) научиться понимать чертежи, привлекая на помощь свое простран­ственное воображение, допуская в отдель­ных случаях простейшие модели;

6) приучить себя укладываться в сроки, рекомендуемые рабочим планом, и своевре­менно отсылать и передавать на рецензи­рование контрольные работы.

Принятые обозначения

1. Точки, расположенные в простран­стве, обозначают прописными буквами латинского алфавита А, В, С, D... или цифрами 1, 2, 3, 4,....

2. Прямые и кривые линии в простран­стве — строчными буквами латинского алфавита а, b, с, d,....

3. Плоскости — строчными буквами гре­ческого алфавита: a, b, g,....

4. Поверхности - прописными буквами греческого алфавита: F, Q, L, S,....

5. Основные операции над геометриче­скими образами:

а) совпадение двух геометрических обра­зов: º, например, аº b, А₁º В₁;

б) взаимная принадлежность геометрических образов: Î, например, АÎ а, bÎ В;

в) пересечение двух геометрических образов: х, например, t х a,

а х b;

г) результат геометрической операции: =, например, К= а х a.

6. Особые прямые и плоскости имеют постоянные обозначения:

линии уровня: горизонталь - h, фронталь – f;

касательная прямая - t;

нормаль -n;

оси вращения - i, j.

7. Плоскость проекций при образовании комплексного чертежа — прописной буквой греческого алфавита П.

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА 1

Лист 1

Формат А3. Выполняются титульный лист и содержание контрольных работ по рис. 1.

Лист 2

Формат А3. Выполняются графические задания, связанные с допущенными ошибка­ми в рецензируемых листах. Объем и ха­рактер задач определяются преподавателем.

Лист 3

Формат А3. Выполняются две задачи по формали­зации процесса графического решения пози­ционных и метрических задач. Пример оформления листа-нарис. 3.

Задача 1. Построить блок-схему алго­ритма поэтапного графического решения задачи 1 листа 4. Исходные данные к ней — по табл. 1.

Указания к выполнению задачи 1. Пред­ставить решение задачи в виде определен­ной последовательности описаний элементарных графических задач: построение проекции плоскости (А, B, С), построение к плоскости (А, B, C) перпендикуляра, проходящего через т. D, и т. д. Каждая элементарная графическая задача оформля­ется блоком (прямоугольником с порядко­вым номером). Размеры блока 70х15 мм, расстояние между блоками 10 мм.

Задача 2. Осуществить поэтапное гра­фическое выполнение задачи 1 листа 4 в виде определенной последова­тельности решения элементарных графиче­ских задач с нанесением на изображение мнемонических знаков, раскрывающих по­рядок и характер выполнения элементарных графических процедур. Исходные данные те же, что и к
задаче 1.

Указания к выполнению задачи 2. Каждую элементарную задачу оформляют отдельным эпюром в последовательности, указанной в блок-схеме. При построении проекции тт. A, В, С, D, Е необходимо числовые значения их координат, прини­маемые по табл. 1, уменьшить вдвое.

Над каждой элементарной задачей размещают ее номер в кружке диаметром 7 мм (см. лист 3 рис. 3).

Таблица 1

Лист 4

Формат А3. Выполнить три задачи на точку, прямую и плоскость в ортогональных проек­циях. Пример выполнения листа - на рис. 4. Задачи 1 и 2 совместить на одном чертеже в левой части листа, а задачу 3 располо­жить в правой части листа. Точку Е по­строить только для задачи 3. Для левой и правой частей листа координатные оси показывать раздельно. В листе 4 и осталь­ных листах контрольных работ обводку ре­шенных задач выполнять цветной пастой шариковой ручки или тушью. Четко разли­чать видимые и невидимые линии чертежа: видимые — сплошные толстые 0, 6...0, 8 мм; невидимые — штриховые 0, 4 мм.

Черной пастой обводят исходные данные, красной— полученный результат решения. Все промежуточные построения должны быть показаны на чертеже тонкими линиями, 0.1… 0.2 мм различными цветами (синим, зеленым, коричневым и т. д.) в зависимости oт принадлежности к этапу решения задачи. Все вспомогательные построения не стирать и все точки чертежа обозначить.

Задача 1. Дано: плоскость треугольника (А, В, С) и точка D. Требуется: определить расстояние от точки D до плоскости, заданной треугольником (А, В, С). Определить видимость перпендикуляра, проходящего через точку D, и плоскости треугольника (A, В, С). Данные для выполнения задачи взять из табл. 1 в соответствии с вариантом.

Указания к выполнению задачи 1. Задачу выполняют в следующей последовательности: 1) из точки D опускают перпендикуляр, используя гори­зонталь h и фронталь f плоскости. При этом горизонтальная проекция перпендикуляра перпендикулярна горизонтальной проек­ции горизонтали h₁, а фронтальная проекция перпендикуляра перпендикулярна фронтальной

проекции фронтали f_2; 2) опре­деляют точку пересечения перпендикуляра с плоскостью (А, В, С), для чего перпен­дикуляр (прямую) заключают во вспомога­тельную, обычно проецирующую, плоскость (g), находят линию пересечения плоскости (А, В, С) с вспомогательной плоскостью и отмечают точку К, в которой эта линия пересекается с перпендикуляром; 3) определяют нату­ральную величину (Н.В.) расстояния от точки D до плоскости (А, В, С), при­меняя способ прямоугольного треугольника; 4) видимость проекции перпендикуляра опре­деляют методом конкурирующих точек.

Задача 2. Д а н о: плоскость треугольни­ка (А, В. С). Т р е б у е т с я: постро­ить плоскость, параллельную заданной и отстоящую от нее на 45...50 мм. Данные для выполнения задачи взять из табл. 1.

Указания к выполнению задачи 2. Задачу выполняют в следующей последовательности: 1) в заданной плоскости (А, В, С) выбирают произволь­ную точку (в том числе вершину (на рис.4 взята точка С) и из нее восстанавливают перпендикуляр к плоскости (А, В, С) (аналогично первому действию в первой задаче). В связи с тем, что задачи 1 и 2 совмещены на одном чертеже и направление перпендикуляра к плоскости (А, В, С) уже выявлено (прямая b (D, К), то пер­пендикуляр через произвольно выбранную точку можно провести как прямую, па­раллельную перпендикуляру b (D, К). На эпюре одноименные проекции параллель­ных прямых параллельны; 2) определяют методом прямоугольного треугольника на­туральную величину произвольного отрез­ка перпендикуляра, который ограничивают произвольной точкой Р; 3) на натуральной величине произвольного отрезка перпенди­куляра находят точку Т, расположенную на заданном расстоянии 45 мм от плоскости, и строят проекции этой точки на проек­циях перпендикуляра; 4) через точку Т строят искомую плоскость, соблюдая условие параллельности плоскостей: если плоскости параллельны, то две пересекаю­щиеся прямые одной плоскости параллель­ны двум пересекающимся прямым другой плоскости. На эпюре одноименные проек­ции пересекающихся прямых параллельны.

Задача 3. Д а н о: плоскость треугольни­ка а (А, В, С) и прямая (D, Е). Т р е ­б у е т с я: через прямую (D, Е) провести плоскость, перпендикулярную плоскости треугольника (А, В, С), построить линию пересечения этих двух плоскостей, опреде­лить видимость. Данные для выполнения задачи взять из табл. 1.

Указания к выполнению задачи 3. Зада­ча предполагает следующие действия: 1) строят плоскость, перпендикулярную плоскости (А, В, С). Плоскость, перпендикулярная другой плоскости, должна проходить через перпендикуляр к этой плоскости. Искомая плоскость, перпендикулярная плоскости (А, В, С), должна содержать в себе заданную прямую (D, Е) и перпендику­ляр, опущенный из любой точки этой пря­мой на заданную плоскость (А, В, С), (например, из точки D); 2) строят линию пересечения двух плоскостей: заданной плоскостью треугольника (А, В, С) и по­строенной, перпендикулярной ей. Задачу на определение линии пересечения двух плоскостей можно решить двумя способа­ми. Первый - построить точки пересечения двух прямых одной плоскости с другой плоскостью, т. е. использовать два раза схему нахождения точки пересечения пря­мой с плоскостью. Второй — ввести две вспомогательные секущие плоскости частно­го положения, которые одновременно пересекали бы плоскость (А, В, С) и плос­кость, перпендикулярную ей, построить их линии пересечения с заданными плоскостя­ми. Две собственные точки пересечения этих линий определяют линию пересечения дан­ных плоскостей. На примеревыполнениялиста 4 (рис. 4) в задаче 3 применен первый способ. Точки пересечения прямой а (D, Е) и перпендикуляра b (D, K) опре­деляют линию пересечения плоскостей а (А, B, C) и искомой перпендикулярной к ней; 3) определяют видимость пересекаю­щихся заданных плоскостей. Видимость плоскостей устанавливают с помощью кон­курирующих точек скрещивающихся пря­мых, принадлежащих этим плоскостям.

При решении задач 1, 2, 3 нужно помнить следующие положения ортогональных проекций.

1. Две проекции точки определяют ее положение в пространстве (относительно плоскостей проекций), так как по двум проекциям можно установить расстояние от точки до всех трех основных плоско­стей проекций.

2. Ортогональные проекции одной итойже точки располагаются на перпендикуля­ре к оси проекции, который называется линией связи.

3. Если одна проекция прямой парал­лельна оси проекции, то такая прямая па­раллельна одной из плоскостей проекции. Принадлежащий ей отрезок проецируется на одну плоскость в натуральную величину (горизонтальная, фронтальная, профильная прямые). Если обе проекции прямой па­раллельны одной из осей проекций, то такая прямая занимает проецирующее положение. Одна из ее проекций вырождается в точку.

4. Проекция отрезка прямой общего по­ложения всегда меньше отрезка в натуре.

5. Одноименные проекции параллельных прямых взаимно параллельны.

6. Точки пересечения одноименных проекций пересекающихся прямых располо­жены на одной и той же линии связи. Точки пересечения одноименных проекций скрещивающихся прямых не расположены на одной и той же линии связи.

7. Прямой угол проецируется на плос­кость также в прямой угол, если одна его сторона параллельна этой плоскости.

8. Горизонталь, фронталь и линии накло­на плоскости являются главными линиями плоскости. Фронтальная проекция горизонтали параллельна оси X, горизонтальная проекция параллельна горизонтальному сле­ду плоскости. Горизонтальная проекция фронтали параллельна оси X, фронтальная проекция — фронтальному следу плоскости. Линии наклона плоскости перпендикулярны фронталям, горизонталям или профильным прямым плоскости. Угол их наклона к соот­ветствующей плоскости проекций определяет угол наклона плоскости к той же плоскости проекций.

9. Линия пересечения любой плоскости с горизонтальной плоскостью является го­ризонталью, с фронтальной — фронталью.

Лист 5

Формат А3. Выполнить две задачи на способы преобразования проекций. Пример выпол­нения листа представлен на рис.5.

Задача 1. Д а н о: треугольник АВС. Т р е б у е т с я: способом вращения вокруг осей, перпендикулярных плоскостям проек­ций, определить величину треугольника AВС. Данные для выполнения задачи берут из табл. 2.

Указания к выполнению задачи 1. Соблюдая правила вращения геометрических фигур вокруг оси, перпендикулярной плоскости проекций, не­обходимо выполнить два действия: 1) при­вести треугольник AВС в положение проеци­рующей плоскости, т. е. перпендикулярной плоскости проекций. Признаком перпенди­кулярности заданной плоскости плоскостям проекций на эпюре является вырождение одной из проекций плоскости треугольника (A, В, С) в прямую линию. Для получе­ния фронтально-проецирующей плоскости не­обходимо горизонталь плоскости (A, В, С) вместе с системой всех точек треугольника А, В, С поставить в положение, перпендику­лярное фронтальной плоскости проекций, а для получения горизонтально-проецирую­щей плоскости необходимо фронталь плоскости (A, В, С) со всеми точками плоскости перевести в положение прямой, перпендикулярной горизонтальной плоско­сти проекций;

2) полученную проецирующую плоскость преобразовать в плоскость уровня, т. е. па­раллельную либо горизонтальной, либо фронтальной плоскости проекций, в зави­симости от ее положения на первом этапе преобразования. Для этого выродившуюся в прямую линию проекцию треугольника AВС изобразить в положении, параллель­ном оси X. Проекция треугольника АВС на одной из плоскостей проекций и будет являться натуральной величиной треуголь­ника AВС.

При вращении фигур вокруг осей, пер­пендикулярных плоскостям проекций, необ­ходимо учитывать следующее.

1. Линия перемещения точки (траекто­рия) представляет собой окружность. Так как плоскость траектории параллельна плоскости проекций, то проекции точки пере­мещаются: одна — по окружности, другая — по прямой, параллельной оси проекций.

Таблица 2

2. Проекция фигуры на ту плоскость проекций, на которой ось вращения проеци­руется в точку, не изменяется ни по вели­чине, ни по форме, изменяется только ее положение относительно оси проекций.

3. Ось проекций не участвует в решении задач (как это имеет место при замене плоскостей проекций), поэтому на чертеже она может быть не проведена.

Задача 2. Д а н о: четырехугольник ЕВСD и точка A. Т р е б у е т с я: способом замены плоскостей проекций определить расстояние от точки A до плоскости (Е, В, С, D), построить проекции этого расстояния на исходном Точки Е, В, С, D для всех вариантов имеют одинаковые координаты: E (90, 60, 10), B (60, 90, 80), C (10, 60, 80), D (40, 30, 10). Координаты точки A берут из табл. 3.

Таблица 3

Указания к выполнению задачи 2. Соблюдая правила построения геометрических фигур на заме­ненных плоскостях проекций, необходимо:

1) преобразовать плоскость общего поло­жения (Е, В, С, D) в плоскость фронтально-проецирующую и построить проек­цию точки A. Положение

новой плоскости определяет новая ось проекций X ₁₄. Она должна располагаться перпендикулярно го­ризонтальной проекции горизонтали плоско­сти (Е, В, С, D); 2) определить рас­стояние от точки A до заданной плоскости. Оно равно отрезку перпендикуляра AK, опущенного из точки A на плоскость (Е, В, С, D), выродившуюся на новой фронтальной плоскости проекций в прямую линию; 3) получив основание перпендику­ляра K_4, построить его проекции на исход­ном чертеже задачи. Так как проекция отрезка А₄ К₄ перпендикуляра b — нату­ральная величина отрезка, то, следователь­но, его проекция на плоскостьП₁ будет параллельна оси Х₁₄. Координату Z для плоскости П₂ следует снять с плоскости проекций P₄.

При изучении способа замены плоско­стей нужно иметь в виду, что фигура не меняет своего положения в пространстве, плоскость же проекций P₁ или П₂ заменяют новой плоскостью соответственно или П_5, или П _4. Такую замену проводят последовательно, сначала заменяют одну плоскость, затем другую.

При построении проекции фигуры на новой плоскости проекций необходимо помнить, что происходит переход от одного эпюра к другому, на котором соответствующие проекции точек также расположены на линиях связи. Координата точки на новой плоскости проекций равна координате точки на заменяемой плоскости проекций.

Лист 6

Формат А3. Выполнить две задачи на пересече­ние многогранных поверхностей и построение развертки призмы. Пример выполне­ния листа- на рис.6.

Задача 1. Д а н о: координаты трехгранной пирамиды SABC и прямой четырехгранной призмы EFKM высотой 85 мм. Т р е б у е т с я: вычертить две проекции пирамиды и призмы, построить линию пересечения этих многогранников и определить ее видимость. Значения координат точек A, B, C, S, E, F, K, M берут из табл.4 в соответ­ствии с номером варианта.

Указания к выполнению задачи 1. Решение задачи начинают с выбора системы координат: осей проекций x, y, z и положения точки О – начала координат. Далее приступают к построению горизонтальных и фронтальных проекций точек S (S_1, S₂ ), A(A₁, A₂), B(B₁, B₂), C(C₁, C₂), E(E₁, E₂), F(F₁, F₂), K(K₁, K₂), M(M₁, M₂) – вершин пирамиды и призмы в масштабе 1: 1 по координатам, соответствующим номеру варианта задачи.

Таблица 4

Грани прямой призмы располагаются перпендикулярно горизонтальной плоскости проекций, то есть являются горизонтально-проецирующими плоскостями. Соответственно, и ребра призмы являются горизонтально-проецирующими прямыми. По высоте последние ограничиваются верхним основанием призмы, расположенным параллельно нижнему ее основанию на расстоянии, равном 85 мм для всех вариантов задач. Так как нижнее основание призмы располагается непосредственно в горизонтальной плоскости проекций, ее фронтальная проекция совпадает с осью проекций Х, а фронтальная проекция верхнего основания призмы располагается параллельно оси проекции Х на расстоянии, равном 85 мм.

Тонкими линиями соединяют между собой одноименные проекции вершин пирамиды и получают, таким образом, фронтальную и горизонтальную проекции трехгранной пирамиды SABC. Затем тонкими линиями соединяют между собой горизонтальные проекции вершин нижнего и верхнего оснований (их проекции совпадают) и от горизонтальных проекций вершин оснований проводят линии связи в направлении, перпендикулярном оси проекции Х, до пересечения с фронтальной проекцией верхнего основания призмы.

Далее производится анализ расположения заданных геометрических фигур на чертеже относительно друг друга и плоскостей проекций. Это позволяет составить план решения задачи, наметить последовательность требуемых графических построений и предварительно установить видимость проекций ребер многогранников на исходном чертеже.

Линия пересечения многогранников опре­деляется по точкам пересечения ребер каж­дого из них с гранями другого многогранни­ка или построением линий пересечения гра­ней многогранников. Соединяя каждые па­ры точек одних и тех же граней отрезками прямых, получаем линии пересечения много­гранников. Видимыми линиями пересечения многогранников будут те, которые принад­лежат их видимым граням.

Все построения выполняются с помощью чертежных инструментов тонкими линиями. Положение проекций точек следует выделять кружками с просветом диаметром 1, 5 – 2 мм и обозначать арабскими цифрами с добавлением индексов, соответствующих плоскостям проекций.

Буквенные и цифровые обозначения выполняются по ГОСТ 2.304 – 81 шрифтом размером 3, 5; 5 или 7 мм.

Результаты выполненных построений – проекции линий пересечения многогранников - допускается обводить цветным карандашом (красным или зеленым). Линии связи и линии дополнительных построений на чертеже необходимо сохранить.

Задача 2. Д а н о: две пересекающиеся поверхности: трехгран­ная пирамида и прямая четырехгранная призма.

Т р е­ б у е т с я: построить полную развертку прямой четырехгранной призмы и нанести на ней линию пересечения данных фигур. Линия пересечения поверхности наносится по результату решения задачи 1.

Указания к выполнению задачи 2. Задачу выполняют на правой половине листа. Вначале строим полную развертку призмы. Для этого проводим горизонтальную прямую и откладываем на ней четыре стороны основания призмы по ее натуральным размерам. Высота берется с фронтальной проекции, которая откладывается на вертикальных прямых, перпендикулярных сторонам призмы. Затем пристраивается верхнее и нижнее основания призмы.

Линии пересечения поверхностей наносятся на развертку с помощью ее характерных точек. Для каждой такой точки в ортогональных проекциях определяется положение образующей и направляющей линий поверхности, на пересечении которых расположена взятая точка. Строят эти линии (образующую и направляющую) на развертке и в их пересечении отмечают искомую точку линии пересечения поверхностей. Точки соединяют прямой линией.