Непосредственное интегрирование. Замена переменной и интегрирование по частям

Глава IX. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

1. Непосредственное интегрирование. Функция F (х) называется первообразной для функции f (x), если F'(x) = f(x) или dF (x) = f (x) dx.

Если функция f(х) имеет первообразную F (х), то она имеет бесконечное множество первообразных, причем все первообразные содержатся в выражении F(x) + С, где С — постоянная.

Неопределенным интегралом от функции f (х) (или от выражения f (х)dx) называется совокупность всех ее первообразных. Обозначение:

Здесь — знак интеграла, f(х) — подынтегральная функция, f (x) dx — подынтег­ральное выражение, х — переменная интегрирования.

Отыскание неопределенного интеграла называется интегрированием функции.

Свойства неопределенного интеграла

(правила интегрирования)

1^o. 4^o. , где а — постоянная.

2^o. 5 ^o.

3^o. 6 ^o. Если и u=φ (x), то

Таблица основных интегралов

I. . VIII.

II. при m≠ -1. IX.

Ш. . X.

IV. . XI.

V. XII.

VI. . XIII.

VII. XIV.

XV.

1328. Найти интеграл .

Решение. Используя свойства 4° и 5°, получаем

.

К первым трем интегралам правой части применим формулу II, а к четвер­тому интегралу—формулу I:

▲

1329. Найти интеграл

Решение.

▲

1330. Найти интеграл .

Решение.

Имеем

Свойство 6° позволяет значительно расширить таблицу основных интегралов с помощью приема подведения функции под знак дифференциала. ▲

1331. Найти интеграл .

Решение.

Этот интеграл можно привести к формуле II, преобразовав его так:

Теперь в качестве переменной интегрирования мы имеем выражение 1-f-x² и относительно этой переменной получается интеграл от степенной функции, Сле­довательно,

▲

1332. Найти интеграл

Решение.

Здесь, поступая так же, как и в предыдущем примере, имеем

▲

1333. Найти интеграл .

Решение.

Выражение можно записать как d (ln t), поэтому

▲

1334. Найти интеграл .

Решение.

Заданный интеграл можно представить так:

,

но , а потому

,

т. е. переменной интегрирования является Зсоsх. Следовательно, интеграл берется по формуле VI:

. ▲

1335. Найти интеграл

Решение.

Находим

(см. формулы VIII и IX).

▲

1336. Найти интеграл .

Решение.

Имеем

(см. формулы X и XI). ▲

Найти интегралы:

1337. 1338. 1339.

1340. 1341. 1342.

1343. 1344.

1345. 1346.

1347. 1348.

1349. 1350.

1351.

2. Замена переменной в неопределенном интеграле. Замена переменной в неоп­ределенном интеграле производится с помощью подстановок двух видов:

1) x = φ (t) где φ (t) - монотонная, непрерывно дифференцируемая функция новой переменной t. Формула замены переменной в этом случае имеет вид

2) u = ψ (x), где u — новая переменная. Формула замены переменной при такой подстановке:

1352. Найти интеграл

Решение.

Произведем подстановку t= , т. е. x = t³. Эта подстановка приведет к тому, что под знаком синуса окажется переменная интегрирования, а не корень из нее. Найдем дифференциал dx=3t²dt, Отсюда получаем

Ответ должен быть выражен через старую переменную х. Подставляя в резуль­тат интегрирования t= , получим

▲

1353. Найти интеграл .

Решение.

Этот интеграл можно найти и не производя замены переменной. Здесь достаточно развернуть выражение (2x+1)²⁰ по формуле бинома Ньютона и применить почленное интегрирование. Однако этот прием связан с большим коли­чеством вычислений. При помощи замены переменной можно сразу свести данный интеграл к табличному,

Полагая 2x+1=t, имеем 2dx = dt, т. е, dx = (1/2)dt. Отсюда получаем

▲

Вообще, если интеграл является табличным, то интеграл может быть легко найден при помощи подстановки ax+b = t.

Например, применим эту подстановку к интегралу , Имеем ax+b = t, adx = dt и dx = (1/a)dt. Следовательно,

Возвратившись кстарой переменной, получаем

Аналогично можно показать, что

, и т.д.

При нахождении интеграла записи самой подстановки ax+b = t можно фактически и не производить. Здесь достаточно принять во внимание, что

. Таким образом,

где F— первообразная для f.

1354. Найти интеграл

Решение.

Положим ; тогда х³+5 = t. Дифференцируем обе части равенства: 3x²dx = 2tdt. Отсюда х² dx = (2/3) t dt и, следовательно,

Данный интеграл можно найти и при помощи подстановки x²+5=t

Эта подстановка сразу приводит интеграл к табличному вследствие того, что первый множитель подынтегрального выражения x² отличается от производной подкоренного выражения x³+5 только постоянным множителем 1/3, т. е. x² =(1/3)(x² +5)’ ▲

___________

Вообще, если подынтегральная функция является произведением двух мно­жителей, один из которых зависит от некоторой функции ψ (x), а другой явля­ется производной ψ (x) (с точностью до постоянного множителя), то целесообразно сделать замену переменной по формуле ψ (x) = t.

1355. Найти интеграл .

Решение.

Перепишем данный интеграл в виде . Так

как производная выражения 2lnx+3 равна 2/х, а второй множитель 1/х отли­чается от этой производной только постоянным коэффициентом 2, то нужно применить подстановку 2lnx+3=t. Тогда , . Следовательно,

▲

1356. Найти интеграл

Решение.

Произведем подстановку f(x) = t. Тогда f’(x)dx=dt и

Например,

Здесь мы не пишем знака модуля, так как x² +1> 0 ▲

1357. Найти интеграл

Решение.

Положим f(x) = t. Тогда f’(x)dx=dt и

Заметим, что данный интеграл можно было найти при помощи подстановки

. ▲

1358. Найти интеграл , если а≠ 0

Решение.

Для того чтобы свести интеграл к табличному (см. формулу IV), разделим числитель и знаменатель подынтегрального выражения на а²:

Мы подвели постоянный множитель 1/а под знак дифференциала. Рассматривая х/а как новую переменную, получим

К этому же результату мы пришли бы испомощью подстановки x=at. ▲

1359. Найти интеграл , если а> 0.

Решение.

Разделив числитель и знаменатель на а, получаем

Принимая х/а за новую переменную, получим

. ▲

Дополним теперь таблицу основных интегралов следующими формулами:

XVI.

XVII.

XVIII.

XIX.

XX.

XXI.

XXII.

XXIII.

XXIV.

XXV.

Формулы I — XXV нужно знать наизусть, так как большинство интегралов, используемых на практике, сводится к интегралам, берущимся по этим формулам.

1360. Найти интеграл

Решение.

Произведем подстановку ; тогда 2х — 9 = t², х =(t² +9)/2 и dx = tdt. Итак,

Применив формулу XVIII, получим

▲

1361. Найти интеграл .

Решение.

Произведем подстановку cos² x = t, тогда -2 cosx sinx dx = dt, т.е. sin2xdx=dt. Теперь находим

(мы использовали формулу XX). ▲

1362. Найти интеграл .

Решение.

Применим подстановку 2 sin (x/2) + 3 =t; тогда cos (x/2)dx= dt и

▲

1363. Найти интеграл

Решение.

Применим подстановку x ⁵ = t; тогда 5x ⁴ dx = dt, x ⁴ dx = (1/5) dt и

(см, формулу XXI). Итак,

▲

1364. Найти интеграл

Решение.

Преобразуя знаменатель дроби, получим x ⁴ +2x ² +5=(x ² +1) ² +4 Произведем подстановку x²+1=t, тогда xdx=(1/2)dt. Отсюда

(см, формулу XVIII). Таким образом,

▲

1343. Найти интеграл

Решение.

Положим e^2x = t, тогда e^2x dx = (1/2) dt и

(мы применили формулу XIX). Итак,

▲

1366. Найти интеграл

Решение.

Произведя ту же подстановку, что и в предыдущем примере, получим

▲

1367. Найти интеграл .

Решение.

Полагая , x =t², dx = 2tdt, получим

(см. формулы XXII и XXIII). Возвращаясь к старой переменной, получим

▲

Найти интегралы:

1368. 1369.

1370. 1371.

1372. 1373.

1374. 1375.

1376. 1377.

1378. 1379.

Указание: представить интеграл в виде суммы интегралов.

1380. 1381.

1382. 1383. 1384.

3. Интегрирование по частям. Интегрирозанием по частям называется нахож­дение интеграла по формуле

,

где u=φ (x), v=ψ (x) — непргрывно дифференцируемые функции от x. С помощью этой формулы нахождение интеграла сводится к отысканию другого интег­рала ; ее применение целесообразно в тех случаях, когда последний интеграл либо проще исходного, либо ему подобен.

При этом за u берется такая функция, которая при дифференцировании упрощается, а за dv —та часть подынтегрального выражения, интеграл от кото­рой известен или может быть найден.

Так, например, для интегралов вида , , , где Р (х) —многочлен, за и следует принять Р (х), а за dv — соответственно выра­жения е^ах dx, sin axdx, cosaxdx; для интегралов вида , , за и принимаются соответственно функции ln x, arcsin x, агссоs x; а за dv —выражение Р (х) dx.

1385. Найти интеграл .

Решение.

Положим и=lпх, dv=dx; тогда v=x, . Используя формулу интегрирования по частям, получаем

▲

1386. Найти интеграл

Решение.

Пусть u=arctgx, dv=dx; тогда , v=x. По формуле интегрирования по частям находим

▲

1387. Найти интеграл

Решение.

Положим и=х, dv=sinxdx; тогда du = dx, x=-cosx. Отсюда

Если бы выражения и и dv мы выбрали иначе, например u = sinx, dv =xdx, то получили бы du = cosxdx, v = (1/2)x², откуда

,

и пришли бы к интегралу более сложному, чем исходный, так как степень сомно­жителя при тригонометрической функции повысилась на единицу. ▲

1388. Найти интеграл .

Решение.

Положим u = x², dv = e^xdx; тогда du = 2xdx, v=e^x. Применяем формулу интегрирования по частям:

.

Мы добились понижения степени х на единицу. Чтобы найти , приме­ним еще раз интегрирование по частям. Полагаем и=х, dv=e^xdx; тогда du=dx, и=е^х и

. ▲

1389. Найти интеграл .

Решение.

Пусть и = е^х, dv = sinxdx; тогда du=e^xdx, v=- cosx. Следо­вательно,

.

Создается впечатление, что интегрирование по частям не привело к цели, так как интеграл не упростился. Попробуем, однако, еще раз проинтегрировать по частям. Приняв и = е^х; dv = cosxdx, откуда du = e^xdx, v = sinx, получаем

, т.е.

Применив дважды операцию интегрирования по частям, мы в правой части снова получили исходный интеграл. Таким образом, приходим к уравнению с неизвестным интегралом I. Из этого уравнения находим

, т. е. .

В окончательном результате мы прибавили к найденной первообразной функ­ции произвольную постоянную.

1390. Найти интеграл , если а> 0.

Решение.

Положим , dv = dx, откуда , v =x. Следовательно,

или

.

Отсюда получаем

т. е.

▲

1391. Вывести рекуррентную формулу для интеграла .

Решение.

Заданный интеграл можно преобразовать так:

Положим u=х, ; тогда du = dx,

откуда

или

т. е.

Полагая n=2, получаем выражение интеграла I₂ через элементарные функ­ции. Полагая теперь n=3, находим интеграл I₃ (ведь интеграл I₂ уже найден). Таким образом, можно найти I_n при любом целом положительном n. ▲

Найти интегралы:

1392. . 1393.

1394. . 1395.

1396. . 1397. 1398.

Указание: положить x²=t.

1399. 1400.

1401. 1402.

Указание: положить .