Интегрирование рациональных дробей

1. Интегрирование простейших дробей. Рациональной дробью называется дробь вида P(x)/Q(x), где Р (х) и Q (х) — многочлены. Рациональная дробь называется правильной, если степень многочлена Р (х) ниже степени многочлена Q (х); в про­тивном случае дробь называется неправильной.

Простейшими (элементарными) дробями называются правильные дроби сле­дующего вида:

I. ;

II. , где т — целое число, большее единицы;

III. , где < 0 т. е. квадратный трехчлен x² + px+q не имеет действительных корней;

IV. , где n - целое число, большее единицы, и квадратный трехчлен х²+рх+q не имеет действительных корней.

Во всех четырех случаях предполагается, что А, В, р, q, a — действительные числа. Перечисленные дроби будем соответственно называть простейшими дробями I, II, III и IV типов.

Рассмотрим интегралы от простейших дробей первых трех типов. Имеем

I.

II.

III.

Действительно, для этого частного случая простейшей дроби III типа полу­чаем

^ИЛИ

где (здесь < 0), откуда

1403. Найти интеграл

Решение.

Имеем

▲

1404. Найти интеграл

Решение.

Имеем

Покажем, как интегрируются в общем виде простейшие дроби III типа.

Требуется найти , < 0. Выделим в числителе дроби производную знаменателя. Для этого числитель представим в виде

Тогда

В первом интеграле числитель является производной знаменателя; поэтому так как x²+рх+q> 0 для любого значения х. Второй интеграл, как уже было отмечено, находится по формуле

Итак,

1405. Найти интеграл

Решение.

Имеем

▲

1406. Найти интеграл

Решение.

Имеем

▲

1407. Найти интеграл

Решение.

Предварительно в этом интеграле произведем замену перемен­ной х²=t, тогда 2xdx = dt, xdx=(l/2)dt. Следовательно,

▲

Рассмотрим теперь частный случай интеграла от простейшей дроби IV типа. Для интеграла (n — целое положительное число) имеет место следующая рекуррентная формула:

Эта формула позволяет после (n - 1)-кратного применения свести данный

интеграл I_n к табличному интегралу

1408. Найти интеграл

Решение.

Здесь п = 3. После первого применения рекуррентной формулы получаем

К интегралу снова применяем рекуррентную формулу (здесь полагаем n = 2):

Итак,

Окончательно имеем

▲

____________

Покажем теперь в общем виде, как интегрируются простейшие дроби IV типа. Требуется найти < 0.

Выделим в числителе производную от квадратного трехчлена, стоящего в зна­менателе:

Первый интеграл в правой части равенства легко находится при помощи подстановки , авторой преобразуем так:

Полагая теперь , dx = dt и обозначая , получаем

Таким образом, интегрирование элементарной дроби IV типа может быть выполнено при помощи рекуррентной формулы.

1409. Найти интеграл

Решение.

Имеем

В первом интеграле произведем замену , а во втором интеграле положим Отсюда

Возвращаясь к старой переменной, получаем

▲

Найти интегралы:

1410. 1411. 1412.

1413. 1414. 1415.

1416. 1417. 1418.

2. Интегрирование рациональных дробей с помощью разложения иа простей­шие дроби. Перед интегрированием рациональной дроби Р (x)/Q (x) надо сделать следующие алгебраические преобразования и вычисления:

1) если дана неправильная рациональная дробь, то выделить из нее целую часть, т. е. представить в виде

где М (х) — многочлен, а P₁ (x)/Q (x) —правильная рациональная дробь;

2) разложить знаменатель дроби на линейные и квадратичные множители:

где < 0, т. е. трехчлен x²+px+q имеет комплексные сопряженные корни;

3) правильную рациональную дробь разложить на простейшие дроби

4) вычислить неопределенные коэффициенты A₁, А₂,..., А_т,..., B₁, C₁, B₂, С₂,..., В_n, С_n,..., для чего принести последнее равенство к общему знамена­телю, приравнять коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой частях полученного тождества и решить систему линейных уравнений относи­тельно искомых коэффициентов. Можно определить коэффициенты и другим спо­собом, придавая в полученном тождестве переменной х произвольные числовые значения. Часто бывает полезно комбинировать оба способа вычисления коэффи­циентов.

В результате интегрирование рациональной дроби сведется к нахождению интегралов от многочлена и от простейших рациональных дробей.

С л у ч а й 1. Знаменатель имеет только действительные различные корни, т. е. разлагается на неповторяющиеся множители первой степени.

1419. Найти интеграл .

Решение.

Так как каждый из двучленов х —1, х —2, х —4 входит в зна­менатель в первой степени, то данная правильная рациональная дробь может быть представлена в виде суммы простейших дробей I типа:

Освобождаясь от знаменателей, получим

. (*)

Следовательно,

Сгруппируем члены с одинаковыми степенями:

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений

,

из которой найдем А = 3, В = - 7, С = 5.

Итак, разложение рациональной дроби на простейшие имеет вид

Неизвестные A, В, С в разложении можно было определить и иначе. После освобождения от знаменателя можно придать х столько частных значений, сколько содержится в системе неизвестных, в данном случае—три частных значения.

Особенно удобно придавать х значения, являющиеся действительными корнями знаменателя. Применим этот прием к решению данного примера. После освобож­дения от знаменателя мы получили равенство (*). Действительными корнями зна­менателя являются числа 1, 2 и 4. Положим в этом равенстве х=1, тогда

откуда 9 = 3A, т. е. A = 3. Полагая х = 2, получаем 14= - 2В, т. е. В = - 7; полагая х = 4, имеем 30 = 6С, т. е. С = 5. В результате получились те же зна­чения, что и при первом способе определения неизвестных. Таким образом,

▲

_____________

С л у ч а й 2. Знаменатель имеет лишь действительные корни, причем некото­рые из них кратные, т. е. знаменатель разлагается на множители первой сте­пени и некоторые из них повторяются.

1420. Найти интеграл

Решение.

Множителю (х—1)³ соответствует сумма трех простейших дробей , a множителю x+З — простейшая дробь . Итак,

Освободимся от знаменателя:

Действительными корнями знаменателя являются числа 1 и — 3. Полагая x=1, получаем 2 = 4A, т. е. A =1/2. При х =- 3 имеем 10 = — 64D, т. с. D = — 5/32.

Сравним теперь коэффициенты при старшей степени х, т. е. при х³. В левой части нет члена с х³, т. е. коэффициент при х³ равен 0. В правой части коэффи­циент при х³ равен C + D. Итак, C + D = 0, откуда С = 5/32.

Остается определить коэффициент В. Для этого необходимо иметь еще одно уравнение. Это уравнение можно получить путем сравнения коэффициентов при одинаковых степенях х (например, при х²) или придав х какое-нибудь численное значение. Удобнее взять такое значение, при котором вычислений будет возможно меньше. Полагая, например, х = 0, получаем

или т. е.

Окончательное разложение данной дроби на простейшие имеет вид

Таким образом, получим

▲

С л у ч а й 3. Среди корней знаменателя имеются простые комплексные корни, т. е. разложение знаменателя содержит квадратичные неповторяющиеся множители.

1421. Найти интеграл

Решение.

Разложим знаменатель на множители:

Тогда

Освобождаемся от знаменателя:

Действительными корнями знаменателя являются числа 0 и 1. При х = 0 имеем 1= — А, т. е. А = — 1. При x=1 имеем 1=3С, т. е. С=1/3. Перепишем предыдущее равенство в виде

Сравнивая коэффициенты при х⁴, х³, х², получаем систему уравнений

из которой найдем: В = 0, D = — 1/3, E=1/3. Итак,

Следовательно,

▲

С л у ч а й 4. Среди корней знаменателя имеются кратные комплексные корни, т. е. разложение знаменателя содержит повторяющиеся квадратичные множители.

1422. Найти интеграл .

Решение.

Так как х² + 1 есть двукратный множитель, то

Освобождаясь от знаменателей, получим

Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях х:

Следовательно,

Заметим, что данный интеграл можно было найти проще с помощью подста­новки х² +1= t. ▲

1423. Найти интеграл

Решение.

Выделим целую часть данной неправильной рациональной дроби:

Итак,

Отсюда находим

▲

1424. Найти интеграл

Решение.

Так как подынтегральная функция является правильной дробью, то ее следует сразу представить в виде суммы простейших дробей. Легко видеть, что многочлен х³ + 6х²+11х+6 обращается в нуль при х = —1, поэтому он де­лится без остатка на х+1. Выполним деление:

Следовательно,

Освобождаясь от знаменателей, получим

Полагая х=-1, найдем 3=2А, т. е. А = 3/2. Если х= — 2, то получим 2=- В, т. е. В=-2. При х =-3 получим 1=2С, т. е. С=1/2. Итак,

▲

1425. Найти интеграл

Решение.

Прежде всего нужно выделить целую часть:

Следовательно,

Разложим теперь правильную дробь на простейшие:

Освободимся от знаменателей:

Полагая х=2, найдем 33=16А, т. е. А = 33/16. При х = — 2 получим — 31 = 16С, т.е. С=— 31/16. Если х = 0, то 1==4А — 8B + 4C + 8D. Заменив А и С их значениями, получаем

или

Для того чтобы найти В и D, составим еще одно уравнение. Сравнив коэф­фициенты при х³, получим 8 = B + D. Решив систему уравнений

находим D= 129/32, B= 127/32.

Итак,

▲

1426. Найти интеграл .

Решение.

Подынтегральная функция является правильной рациональной дробью и можно было бы найти интеграл, представив эту дробь в виде суммы простейших дробей. Однако нахождение интеграла можно значительно упростить, если произвести замену переменной х— 1=t; тогда x = t+1 и dx = dt. В резуль­тате получаем

▲

1427. Найти интеграл

Решение. Преобразуем знаменатель: = Теперь имеем

Произведем замену x² + 3 = t тогда 2х dx = dt и

Из последних двух примеров видим, что иногда перед интегрированием ра­циональной дроби следует произвести замену переменной. ▲

Найти интегралы:

1428. 1429.

1430. 1431.

1432. 1433.

1434. 1435.

1436. 1437.

Указание: представить знаменатель в виде

1438. 1439.

1440.

3. Интегралы вида , где R – рациональная функция. С помощью подстановки =t, откуда dx=dt, dx=dt/ =dt/t, интеграл указанного вида преобразуется в интеграл от рациональной функции

1441. Найти интеграл

Решение: положим =t; тогда dx=dt, dx=dt/t, откуда

так как , то разложение простейшей дроби имеет вид

освобождаясь от знаменателей получим

если t=0, то 1=-3А, т.е. А=-1/3, если же t=-t, то 2=4В, т.е. В=1/2, наконец, если t=3, то 31=12С, т.е. С=31/12

Итак,

и значит

▲

Найти интегралы:

1442.

1443.