Интегрирование путем замены переменной

Первообразная и неопределенный интеграл

Определения и таблица интегралов

Определение. Дана функция f (x), x Î (a, b). Функция F (x) называется первообразной для функции f (x) на интервале (a, b), если на этом интервале существует производная F^/ (x) и F^/ (x) = f (x).

Например, для f (x)=sin(2 x) первообразной будет функция F (x) = – cos(2 x); для f (x) = первообразной является функция F (x) = arctg(x).

Теорема. Если для функции f (x) первообразной на интервале (a, b) является функция F (x), то любая другая первообразная для f (x) имеет вид
F (x) + C, где C – произвольная постоянная (говорят, что первообразная определяется с точностью до аддитивной постоянной).

Определение. Неопределенным интегралом от функции f (x) называется совокупность всех первообразных этой функции F (x) + C.

Неопределенный интеграл обозначается символом ò f (x) dx, ò – знак интеграла, f (x) – подынтегральная функция, f (x) dx – подынтегральное выражение.

Непосредственно из определения следует справедливость свойств:

I. [ ò f (x) dx ] = f (x), d [ ò f (x) dx ] = f (x) dx;

II. ò F^/ (x) dx = ò dF (x) = F (x) + C;

III. Если F (x) – какая-либо первообразная для f (x), то ò f (x) dx = F (x) + C, где CÎ R – произвольная постоянная (R – множество действительных чисел);

IV. ò A× f (x) dx = A× ò f (x) dx, A=const;

V. ò [ f ₁(x) + f ₂(x)] dx = ò f ₁(x) dx + ò f ₂(x) dx.

Свойства IV, V означают, что постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, и что интеграл от суммы функций равен сумме интегралов от этих функций.

Вычисление интегралов основывается на использовании так называемых табличных интегралов:

1) ò xⁿ dx = + C, n ¹ 1;

2) ò dx = ln | x | + C, x ¹ 0;

3) ò a ^x dx = + C (a > 0, a ¹ 1), в частности, ò e^x dx = e^x + C;

4) ò sin(x) dx = –cos(x) + C;

5) ò cos(x) dx = sin(x) + C;

6) ò dx = arctg(x) + C;

7) ò (–) dx = arcctg(x) + C = – arctg(x) + C;

8) ò dx = arcsin(x) + C, | x |< 1;

9) ò - dx = arccos(x) + C = – arcsin(x) + C, | x |< 1;

10) ò dx = –ctg(x) + C, x ¹ p n, n Î Z;

11) ò dx = tg(x) + C, x ¹ p/2 + p n, n Î Z;

12) ò dx = ln | x +| + C, где x ² +A > 0, AÎ R.

Правильность формул легко проверяется дифференцированием обеих частей равенства.

ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПУТЕМ ЗАМЕНЫ ПЕРЕМЕННОЙ

Рассмотрим метод замены переменной. Преобразование подынтегрального выражения переходом от x к переменной t осуществляется по формуле

ò f (x) dx = ò f (j(t))× j¢ (t) dt,

где x = j(t), а f (x), j(t), j¢ (t) – непрерывные функции.

Эта формула легко проверяется дифференцированием обеих частей равенства по t. Рассмотрим примеры.

Пример 1. Найти интеграл ò dx, a > 0.

Решение. Полагаем x = a t, откуда dx = a dt и

ò dx = ò = ò = arctg(t) + C = arctg + C.

Пример 2. Найти интеграл ò dx, a > 0 и | x | < a.

Решение. Полагаем x = a t, откуда dx = a dt и

ò dx = ò = ò = arcsin(t) + C = arcsin + C.

Пример 3. Найти интеграл ò dx.

Решение. Замена x = e^t приводит данный интеграл к виду

ò (e^t)¢ dt =ò t dt, откуда ò dx = t ² / 2 + C = + C, поскольку t = ln(x).

Пример 4. Найти интеграл ò cos(ax) dx, a ¹ 0.

Решение. Делая замену x = t / a, получаем

ò cos(ax) dx = ò cos(t) dt = sin(t) + C = sin(ax) + C.

5.3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ЧАСТЯМ

Пусть u, v – дифференцируемые функции одной переменной x. Так как (u× v)¢ = u ¢ × v + u× v ¢, то умножая обе части этого равенства на dx получаем d (u× v) = v× du + u× dv. Интегрирование дает формулу

ò u dv = u v – ò v du.

Полученная формула есть формула интегрирования по частям. Рассмотрим примеры.

Пример 1. Найти интеграл ò x × cos(x) dx.

Решение. Представляем подынтегральное выражение в виде u dv; при этом
dv = cos(x) dx, а u = x. Тогда du = u¢ dx = dx, v = sin(x) и

ò x × cos(x) dx = x × sin(x) – ò sin(x) dx = x × sin(x) + cos(x) + C;

Пример 2. Найти интеграл ò arctg(x) dx.

Решение. Здесь u =arctg(x), dv=dx и v = x, du =. Имеем

ò arctg(x) dx = x × arctg(x) – ò.

Интеграл в правой части вычисляем путем замены переменой t = x ² +1 > 0,
dt = 2 x dx:

ò = ò = ln | t | = ln(x ² + 1)

В итоге получаем

ò arctg(x) dx = x × arctg(x) – ln(x ² +1) + C.