![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Интегрирование тригонометрических выражений ⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 3
Функция R(x, y) – рациональная, если выражение, ее определяющее, содержит целые степени x, y и четыре арифметических действия. Интегралы вида ò R(sin(x), cos(x)) dx универсальной заменой t = tg(x /2) приводится к интегралам от рациональных функций. Действительно, используя известные тригонометрические формулы, можем записать sin(x) =, cos(x) =, dt = (tg(x /2))¢ dx = = (1 + tg2(x /2)), откуда ò R(sin(x), cos(x)) dx = ò R(,). Интеграл справа – интеграл от рациональной функции, который, как уже знаем, берется до конца. Пример 1. Найти интеграл ò. Решение. Делая замену t = tg(x /2), получаем ò = ò = = ò = ò = ò = = ò = ò. Делая в последнем интеграле замену z = t + 1/3, dz=dt, получаем: ò = ò dz = arctg(z) + C1 = arctg((t +1/3)) + C1 = arctg() + C1. Таким образом, полагая C1 = 3C, окончательно получаем ò = [arctg() + C1] = = arctg() + C. Отметим, что если R(–sin(x), cos(x)) º –R(sin(x), cos(x)) или R(sin(x), –cos(x))º –R(sin(x), cos(x)), то целесообразно применять замену t = cos(x) или t = sin(x) соответственно. Если R(–sin(x), –cos(x)) º R(sin(x), cos(x)), то полезна замена t = tg(x). Указанные замены в этих частных случаях позволяют облегчить процесс взятия интеграла. Пример 2. Найти интеграл ò dx. Решение. Здесь R(–sin(x), cos(x)) º –R(sin(x), cos(x)) Делая замену t =cos(x), получаем ò dx = ò = –arctg(t) +C = –arctg(cos(x)) +C. Интегралы типа ò sin m (ax)× cos n (bx) dx, где m, n – целые неотрицательные числа, а также интегралы, содержащие более двух множителей вида sin m (ax), cos n (bx), берутся за счет использования следующих тригонометрических формул: sin2a =, cos2a =, sin(2a) = 2sin(a)cos(a), cos(a)× cos(b) = [cos(a+b) + cos(a–b)], sin(a)× sin(b) = [cos(a–b) – cos(a+b)], sin(a)× cos(b) = [sin(a+b) + sin(a–b)]. Пример 3. Найти интеграл ò sin2(x)× cos4(x) dx. Решение. ò sin2(x)× cos4(x) dx = ò (sin(x)× cos(x))2× cos2(x) dx = = ò × cos2(x) dx = ò [× ] dx = = ò [1 –cos(4 x) +cos(2 x) –cos(4 x)× cos(2 x)]dx = = [ x – + – ò [cos(4 x +2 x) + cos(4 x –2 x)] dx ] = = [ x – + – (+)]+ C = = – – + + C. Пример 4. Найти интеграл ò cos(x)× cos(2 x)× sin(3 x) dx. Решение. ò cos(x)× cos(2 x)× sin(3 x) dx = ò (cos(3 x)+cos(– x))× sin(3 x) dx = = ò [cos(3 x)× sin(3 x) + cos(x)× sin(3 x)] dx = ò [sin(6 x) + [sin(4 x) + + sin(2 x)]] dx = – [+ + ] + C. Отметим, что в том случае, когда интеграл нельзя выразить через элементарные функции, его называют неберущимся. Таких интегралов множество. Приведем лишь несколько примеров с указанием названий, употребляемых в литературе: ò sin(x 2) dx, ò cos(x 2) dx – интегралы Френеля; ò dx, ò dx – интегральные синус и косинус; ò – интегральный логарифм. Неберущимся является также интеграл
|