Обработка результатов косвенных измерений

При косвенных измерениях искомая величина Y определяется по некоторой формуле, в которую входят величины, непосредственно измеряемые в опыте. Например, при определении плотности r мы измеряем массу m и объем тела V. Плотность определяем по формуле . Для определения сопротивления резистора R необходимо измерить напряжение U и силу тока I. Сопротивление определяем по формуле и т.п.

В общем случае искомая величина Y является некоторой функцией непосредственно измеряемых величин А, В, С, …

Y = f (А, В, С,...).

Пусть в результате проведенных n опытов получено n наборов измеряемых величин А₁, В₁, С₁, …; А₂, В₂, С₂,.. A_n, B_n, С_n, ...

Каждый набор дает свое значение искомой величины:

Y _n = f (А_n, В_n, С_n, …).

1) Если опыт проводится n раз при одних и тех же условиях, то каждую непосредственно измеряемую величину (А, В, С,...) обрабатывают по методике прямых измерений, т. е. для каждой из них находят среднее значение и оценивают абсолютную ошибку (DА, DВ, DС...). Среднее значение искомой величины Y в этом случае определится по формуле

.

2) Когда условия опыта не одинаковы, величину Y определяют в каждом опыте, а ее среднее значение подсчитывают по формуле

.

Абсолютная ошибка величины Y определяется соотношением

,

где D Y_A, D Y_B, D Y_C,... – частные абсолютные ошибки, обусловленные ошибками измерений величин A, B, С,... Частные абсолютные ошибки представляют собой приращения Y, вызванные соответствующими приращениями величин А, В, С,... на величину абсолютной ошибки D А, D B, D С,...

……………………………………………………..

С математической точки зрения величина Y = f (А, В, С,...) является функцией нескольких переменных, а величины DY_A, DY_B, DY_C, … представляют собой частные дифференциалы, которые могут быть вычислены по формулам

, , , …

Здесь – частные производные по переменным A, B, C и т.д.

С учетом этого формула для абсолютной ошибки DY может быть представлена в виде

.

В ряде случаев для расчета D Y можно получить сравнительно простые соотношения. Некоторые из них можно найти в таблицах.