Параболическая корреляция

Уравнение регрессии в форме параболы имеет вид:

При параболической корреляции связь между результативным и факторным признаками может поменять знак на противоположный, из прямой превратиться в обратную, из обратной в прямую[1].

Например, с увеличением дозы удобрений урожайность сначала возрастает, но если превысить оптимальную дозу, то при дальнейшем увеличении дозы удобрений растения угнетаются, и урожайность падает.

Чтобы вычисленные по параболе значения результативного признака были как можно ближе к фактическим значениям y_i, будем искать такую параболу второго порядка, соответствующие ординаты которой дают наименьшую сумму квадратов отклонений от фактических (найденных наблюдением) значений y_i, т.е. будем искать, при каких a, b, c будет минимальной сумма:

Дифференцируем ее по очереди по a, b и с и приравниваем нулю частные производные. После простых преобразований получим следующую систему нормальных уравнений:

Если расчет производится не по индивидуальным данным, а на основе группировки, то нормальные уравнения имеют вид:

Решая эту систему, получаем значения параметров а, b и с.

Нахождение параболы методом наименьших квадратов называют выравниванием по параболе.

Выравнивание по параболе находит разнообразное применение в экономической науке. Одним из самых важных применений является разыскание экстремумов рассматриваемой функции, если она параболически зависит от аргумента.

Пример. Параболическая корреляционная связь продуктивности коров и себестоимости молока по данным группировки сельхозпредприятий области:

В этой же таблице приведены расчетные величины для системы нормальных уравнений:

Þ с=2, 3249; b=-23, 64; а=88, 68

Тогда у=88, 68-23, 641х+2, 3249х²

На рисунке нанесены точки наблюдений и построена кривая корреляции (часть параболы):