Вывод закона с использованием квантовой статистической механики

Магнитная восприимчивость парамагнетика как функция температуры.

Простые модели парамагнетиков основываются на предположении, что эти материалы состоят из частей или областей (парамагнетонов), которые не взаимодействуют друг с другом. Каждая область имеет собственный магнитный момент, который можно обозначить векторной величиной . Энергия момента магнитного поля может быть записана следующим образом:

Области с двумя состояниями (спин-1/2)

Для того, чтобы упростить вывод, предположим, что каждая из областей рассматриваемого парамагнетика имеет два состояния момента, направление которого может совпадать с направлением магнитного поля или быть направленным в противоположную сторону. В данном случае возможны только два значения магнитного момента , и два значения энергии: и . При поиске магнитной восприимчивости парамагнетика определяется вероятность для каждой области оказаться в состоянии, сонаправленном магнитному полю. Другими словами, определяется математическое ожидание намагниченности материала :

где вероятность системы описывается распределением Больцмана, статистическая сумма Z обеспечивает нормализацию вероятностей. Нормирующая функция для одной области может быть представлена следующим образом:

Таким образом, в двухспиновой модели мы имеем:

Используя полученное выражение для одной области, получаем магнитную восприимчивость всего материала:

Выведенная выше формула носит название уравнения Ланжевена для парамагнетиков. П. Кюри в ходе экспериментов обнаружил приближение к этому закону, которое выполнялось при высоких температурах и слабых магнитных полях. Предположим, что абсолютное значение температуры T велико, а B мало. В данном случае, иногда называемом режимом Кюри, величина аргумента гиперболического тангенса мала:

И так как известно, что в случае выполняется соотношение:

получаем результат:

где константа Кюри равна . Также следует отметить, что в противоположном случае низких температур и сильных полей, и имеют тенденцию принимать максимальные значения, что соответствует случаю, когда все области имеют магнитный момент, совпадающий по направлению с магнитным полем.