Характеристики поверхностей

Поверхности 1-го порядка

Поверхности вида:

в матричном виде имеют вид:

, где .

Изменяя компоненты матрицы Р можно описать плоскость любой ориентации и положения, это будет бесконечная плоскость. Реальный участок имеет ограничения. Наиболее удобно ограничение выпуклым многоугольником. Все другие случаи, как криволинейного ограничения, так и невыпуклой фигурой, могут быть сведены к первому путем аппроксимации или разбиения на выпуклые подфигуры. Рассмотрим крыло самолета.

Граничные точки многоугольника однозначно оцифровывают и записывают их координаты в матрицу:

, где .

Уравнение плоскости определяют на основе трех точек, не лежащих на одной прямой:

.

Нормаль : .

Направлена нормаль в сторону полупространства, где значение скалярного поля .

Из поверхностей первого порядка составляются полигональные сетки (серия смежных многоугольников, не имеющих разрывов между собой; каждое ребро является общим для смежных многоугольников).

Описывающая функция обладает непрерывностью, а производная имеет разрывы в местах стыка участков.

Достоинства:

— простота обработки.

Поверхности 2-го порядка

Все поверхности кроме эллипсоида бесконечны. Поэтому только эллипсоид может самостоятельно образовывать объемный примитив, все другие требуют ограничения в пространстве.

Квадратичная функция в матричном виде:

, где .

Нормаль к поверхности в точке (X, Y, Z) определяется:

, где ,

i, j, k – орты осей OX, OY, OZ. Направлена нормаль по градиенту скалярного поля , то есть в сторону увеличения значений . Так как функция является монотонной и однократно знакопеременной, то направлена в ту часть подпространства, где . Например, к поверхности шара направлена внутрь шара, а к поверхности того же шара направлена наружу.

Явное задание квадратичной поверхности применяют в методе обратного трассирования лучей. При прямом трассировании используют параметрическую форму:

; ; .

Например, для эллипсоида:

.

Для переноса квадратичной поверхности используется преобразование:

,

где - точка в другой СК;

F - матрица размером .

Новая матрица :

.

Для перехода в другую СК параметрически заданной поверхности:

.

Рассмотрим пример преобразования шара, описываемого формулой в СК путем сдвига на 5 единиц по всем осям.

Описание шара в матричном виде:

.

, .

Координаты новой точки:

Поверхности типа экструзий

(Extrusion - выдавливание). Это и металлические профили, выдавленные из расплава, и керамические пустотелые кирпичи, выдавленные из глины. К ним относятся и поверхности вращения, которые вырезаны резцом из заготовки. Широких класс машиностроительных деталей, предметов быта, архитектурных форм могут быть представлен как результат вращения кривой относительно оси. Кривую аппроксимируют ломаной линией. Описание конуса может быть неявным или параметрическим.

Другой тип поверхностей – поверхности сдвига. Кривую аппроксимируют ломаной линией, а поверхность – множеством смежных четырехугольников. Две стороны каждого четырехугольника параллельны направляющей прямой, а две остальные параллельны соответствующему отрезку ломаной (как на рисунке а и б). Направляющая линия тоже аппроксимируется ломаной (рисунок г).

Рис. 9.1

Фрактальные поверхности

Естественные сцены часто не может быть описаны на основе традиционных приемов, базирующихся на использовании непрерывных функций. Но можно заметить, что большинство природных сцен статически родственны. Проведя анализ нерегулярных изображений береговой линии, полученных при съемке с высот 10; 3 км и при наблюдении с поверхности земли, было установлено, что при любом уровне разрешения береговая линия может быть смоделирована и нарисована посредством объединения участков небольших прямолинейных сегментов. Причем при переходе на каждый следующий, более высокий уровень разрешения, который был аппроксимирован первым прямолинейным сегментом, этот сегмент вероятностным способом разбивается на последовательность линейных сегментов, и т.д. На основании этого свойства – постоянства статистического закона порождения деталей природных образований при переходе от низких к более высоким уровням разрешения – построен метод использования фрактальных поверхностей.

В переводе (англ.) “фрактальный” обозначает состоящий из частей. Такими поверхностями называется класс нерегулярных геометрических форм, задаваемых вероятностным образом на основе исходного описания низкого разрешения. Случайный закон, по которому исходная линия или поверхность дробится на несколько более мелких, подбирается опытным путем по критерию визуального согласования синтезированного изображения с реальной сценой.

Часто фрактальные поверхности используются для моделирования горного ландшафта. Вначале горный массив описывают очень приближенно полигональной сеткой из четырехугольников. Каждый четырехугольник разбивают с помощью случайной функции на 4 фигуры меньших размеров, причем эти фигуры вероятностным образом сдвигают относительно плоскости исходного четырехугольника, сохраняя для каждой фигуры по одной общей вершине с исходным четырехугольником. Каждую фигуру вновь делят и так до достижения желаемого уровня изрезанности поверхности. Далее удаляются скрытые линии и производится закраска четырехугольников. Изображения, созданные на основе фрактальных поверхностей, только статистически идентичны реальным объектам и не обладают идеальной точностью.

Рис. 9.2

Рис. 9.3