Пример. .

§ 16. Уравнение плоскости в пространстве.

1⁰. Различные виды уравнения на плоскости.

Принципы построения уравнения плоскости в пространстве во многом совпадают с построением прямой на плоскости. Это связано с тем, что размерность прямой отличается от??? плоскости на единицу. Размерность плоскости отличается на единицу от??? пространства. Поэтому плоскость определяется двумя линейно-независимыми векторами и точкой, через которую эта плоскость проходит.

Утверждение 1. Пусть в плоскости задана т. и два неколлинеарных вектора и . Тогда т. . (1)

Доказательство.

|Þ Пусть т. М лежит в плоскости, тогда это означает, что компланарны Þ в силу неколлинеарности и , вектор может быть представлен как линейная комбинация и , т.е. справедливо (1).

Ü | если справедливо (1), то компланарен с и Þ , ч.т.д.∎

Уравнение (1) будет называться уравнением плоскости в векторной форме. Оно означает лишь, что плоскость проходит через т. и параллельно и . Зафиксируем в пространстве аффинновую систему координат. Пусть и - радиус-вектора т. и М.

Тогда (1) перепишем: - векторное уравнение плоскости. (2)

Если теперь зафиксировать координаты векторов , , , , например , то уравнение (2): (3)

Уравнение (3) называется параметрическим уравнением плоскости. Если его переписать в виде:

,

Представляет собой линейную зависимость столбцов матрицы: = 0 (4)

Разлагая этот определитель по первому столбцу получим:

(5)

где (6)

Уравнение (4) является уравнением плоскости, проходящей через т. и параллельно .

Если в плоскости заданы 3 точки , , то в качестве векторов и : .

Уравнение плоскости, проходящей через 3 точки: (7)

Если в уравнение (5) раскрыть скобки и обозначить , то - общее уравнение плоскости (8)

Отметим, что в силу неколлинеарности хотя бы один из определителей (6) отличен от нуля Þ уравнением первой степени.

Таким образом, показали, что любое уравнение плоскости может быть записано в виде уравнение первой степени.

Докажем и обратное: любое уравнение первой степени вида (8) представляет собой уравнение некоторой плоскости.

Пусть в (8) , тогда (8) имеет частное решение: , которое определяет координаты точки, через которую проходит плоскость. А вектора имеют значения .

Покажем, что плоскости, проходящие через полученную точку параллельно и определяются уравнением (8). Действительно, уравнение плоскости имеет вид:

, где эквивалентно (8)

доказана теорема 1: Пусть в пространстве- в точности поверность первого порядка.

2⁰. Взаимное расположение плоскостей в пространстве. Полупространства.

Утверждение 1. Вектор параллелен плоскости , заданной уравнением (8) (9)

Доказательство. Для доказательства утверждения необходимо и достаточно показать, что, если отложить от некоторой точки плоскости, то конец также будет лежать на плоскости.

Пусть , , , проверим, что . Подставляя в уравнение (8): , ч.т.д.∎

Утверждение 2. Плоскости (10)

(11)

параллельны (12)

Доказательство.

Ü | Плоскости параллельны, если вектор параллельный одной плоскости, будет параллелен другой. Поэтому, если выполняется условие (12), то в силу утверждения 1 плоскости параллельны.

|Þ пусть , тогда вектора , которые параллельны плоскости , должны быть параллельны Þ в силу утверждения 1 выполняется:

, ч.т.д.∎

Утверждение 3. Плоскости и , заданные уравнениями (10, 11), совпадают (13)

Доказательство.

Ü | очевидно

|Þ пусть плоскости совпадают, тогда первые два равенства следуют из утверждения 2 и доказываем третье равенство.

Пусть т обеим плоскостям, тогда

В силу соотношения (12) получим: .

Умножим первое уравнение последней системы на и прибавим ко второму: мы доказали уравнение (13), ч.т.д.∎

Утверждение 4. Плоскости и , заданные уравнениями (10, 11), параллельны и не совпадают Û (14)

Утверждение 5. Плоскости и , заданные уравнениями (10, 11), пересекаются Û - неколлинеарны.

Утверждение 6. Пусть плоскости и , заданные уравнениями (10, 11), пересекаются на прямой l, тогда плоскость проходит через эту прямую Û её уравнение имеет вид:

, (15)

где одновременно.

Доказательство. Аналогично для пучка прямых, так как (15) – это уравнение пучка плоскостей, проходящих через l.

3⁰. Плоскость в пространстве с прямоугольной декартовой системой координат.

Пусть в пространстве задана прямоугольная декартова система координат . Пусть плоскость проходит через т. и - некоторый вектор , тогда .

Условие перпендикулярности двух векторов в ортогональном базисе:

В ортогональном базисе коэффициенты А, В, С общего уравнения (8) можно??? как коэффициенты векторной нормали.

Вектор нормали используется для решения задач нахождения угла между плоскостями, угла между прямой и плоскостью и т.д.

По аналогии с прямой на плоскости строится нормальное уравнение плоскости.

Пусть в пространстве с прямоугольной декартовой системой координат задана плоскость . Проведем из начала координат ось .

Пусть т. N – это точка пересечения прямой l с плоскостью ,

Тогда произвольная т. М пространства Û

Другими словами, , (16)

Получаем нормальное уравнение плоскости: .

§ 17. Уравнение прямой в пространстве.

1⁰. Уравнение прямой в произвольной аффиновой системе координат.

В предыдущем § было указано, что если две плоскости пересекаются, то они пересекаются по прямой. Поэтому в произвольной аффиновой системе координат уравнение прямой в следующем виде:

(1)

Плоскости и не параллельны. Условие не параллельности плоскостей и равносильно: (2)

Тогда система (1) при условии (2) представляет систему линейно независимых уравнений, совместную и имеет общее решение следующего вида: , (3)

где - частные решения (1), - ФСР соответствующей системы линейно ОУ.

Геометрически (3) означает, что т. , тогда " т. получается прибавлением к радиус-вектору т. некоторого коллинеарного вектора,

Таким образом, , по аналогии с прямыми на плоскости, является направляющим вектором прямой. Система уравнений (1), удовлетворяющая условию (2) называется общим уравнением прямой в пространстве. Уравнение (3) называется векторно-параметрическим уравнением прямой в пространстве.

Можно переписать в виде: , (3’)

где - радиус-вектор т. , - направляющий вектор.

Перепишем уравнение (3): (4)

- параметрическое уравнение прямой в пространстве.

Если исключить из (4) параметр t получим: (5)

- каноническое уравнение прямой в пространстве, (5) – пропорция.

Пример. , значит прямая лежит в плоскости .

Если и равны нулю, то прямая лежит в плоскостях и , что означает есть линия пересечения плоскостей – прямая параллельная оси .

Если необходимо написать уравнение прямой, проходящей через две точки и .

- направляющий вектор

(6)

- уравнение прямой, проходящей через две точки.

Каждая прямая может быть представлена как линия пересечения двух плоскостей.

Уравнение прямой (5) также можно рассматривать как пересечение двух плоскостей, каждая из которых определяет плоскость параллельную одной из координатных осей.

Утверждение 1. Если прямая l задана как пересечение двух плоскостей системой (1), то вектор (7)

Является направляющим вектором l.

Доказательство.

Отметим, что в силу условия (2) вектор , определенный по формуле (7) должен быть равен 2. Определитель следующего вида , разложим по 1^ой строке:

, в силу утверждения 1 из предыдущего параграфа, означает, что параллелен плоскостям и .

Þ параллелен и их пересечению Þ значит является направляющим вектором, ч.т.д.∎

Замечание. Если прямоугольная декартова система координат, то

Являются векторами нормали для плоскостей и .

- направляющий вектор искомой прямой, а его координаты вычисляются по формулам (7).

2⁰. Взаимное расположение двух прямых в пространстве.

Будем рассматривать прямые , заданные каноническими уравнениями:

(8)

(9)

Прямые либо пересекаются, либо параллельны (в частном случае совпадают), либо скрещиваются.

Для изучения взаимного расположения прямых вводят 3 основных вектора:

В случае параллельных или пересекающихся прямых существует плоскость, которой эти прямые принадлежат. Поэтому выполняется условие: (10)

Þ если прямые скрещиваются, то условие (10) не выполняется, т.е. справедливо

Утверждение 2. Прямые скрещиваются Û .

Если прямые пересекаются, то может решаться задача нахождения угла между прямыми. В этом случае угол определяется углом между направляющими векторами.

Рис.7.

Плоскость, содержащая параллельные прямые имеет вектор нормали .

Чтобы построить перпендикуляр строим плоскость , содержащие эти прямые и плоскость ,

Если прямые пересекаются, то плоскость, содержащая эти прямые в качестве вектора нормали имеет .

Если две прямые скрещиваются, то .

Кроме того, чтобы построить вектор нормали этих плоскостей, найдем . Расстояние между этими плоскостями равно расстоянию между скрещенными прямыми. Другой способ нахождения расстояния между скрещенными прямыми: найти высоту параллепипеда, построенного на векторах если в качестве основания брать параллелограмм, построенный на векторах : .

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ.

СМ. ПРИЛОЖЕНИЯ