Обобщенный метод наименьших квадратов

При наличии гетероскедастичности в остатках рекомендуется традиционный метод наименьших квадратов (МНК) заменять обобщенным методом наименьших квадратов (ОМНК).

Будем предполагать, что среднее значение остаточных величин равно нулю. А вот дисперсия их не остается неизменной для различных значений фактора, а пропорциональна некоторой величине , т.е.

,

где - дисперсия ошибки на конкретном (i – ом) значении фактора;

- постоянная дисперсия ошибки при соблюдении предпосылки о гомоскедастичности остатков;

- коэффициент пропорциональности, меняющийся с изменением величины фактора, что и обуславливает неоднородность дисперсии.

При этом полагается, что величина неизвестна, а в отношении величины выдвигаются определенные гипотезы, характеризующие структуру гетероскедастичности.

В общем виде уравнение регрессии примет вид

.

Исходные данные для этого уравнения будут иметь вид:

.

По отношению к обычной регрессии уравнение с новыми, преобразованными переменными представляет собой взвешенную регрессию, в которой переменные x и y взяты с весами .

Оценка параметров нового уравнения с преобразованными переменными приводит к взвешенному методу наименьших квадратов, для которого необходимо минимизировать сумму квадратов отклонений вида

.