Метод начальных параметров

Метод начальных параметров основан на дополнении поставленных для краевой задачи граничных условий в начале участка интегрирования некоторыми параметрами, называемыми начальными. Эти параметры выбирают так, чтобы полученная при этом совокупность начальных условий полностью определяла решение поставленной задачи.

Пусть дана краевая задача для системы n линейных дифференциальных уравнений первого порядка.

(12)

с граничными условиями на концах интервала [0, l ]

;

(13)

где – вектор неизвестных у1(х), y2(х),..., уn(х);

А(х) – матрица коэффициентов при неизвестных;

– вектор свободных членов;

– векторы постоянных интегрирования.

Общий интеграл системы уравнений (3.40) запишем в следующем виде:

(14)

где – частное решение матричного уравнения (12), удовлетворяющее всем нулевым начальным условиям ;

– частное решение соответствующего уравнению (12) однородного уравнения , удовлетворяющее начальным условиям , где все элементы равны нулю, кроме i -гo, который равен единице; ci – постоянные интегрирования.

Подстановкой полученного по (12) решения в условия (13) получают систему n алгебраических уравнений для определения ci. Найденные постоянные подставляют в (14), откуда находят решение исходной краевой задачи.