Типы элементов

Элемент типа С. Элемент типа С характеризует емкость, инертность и другие подобные свойства моделируемой системы. Графическое изображение такого элемента (двухполюсника) показано на рис. 2, а. Для механических подсистем используют также иное условное обозначение (рис. 2, б), при этом параметру С присваивают символ т.

Компонентное уравнение (1) для элемента типа С имеет вид

(4)

где F и V – соответствующие потоковые и потенциальные фазовые переменные.

В электрических подсистемах элемент типа С определяет электрическую емкость и описывается уравнением

, (4a)

где I и U – соответственно сила тока и падение напряжения.

В механических подсистемах элемент С характеризует массу тела в уравнении второго закона Ньютона:

. (46)

Рис. 2. Элемент типа С

Аналогично для механических вращательных подсистем формулу (4) можно записать в виде

, (4в)

где М– момент силы; I – момент инерции; – угловая скорость.

В тепловых подсистемах С характеризует теплоемкость тела C=dQ/dT, где dQ — изменение количества теплоты в теле при изменении температуры на dТ.

Компонентное уравнение (4) применительно к тепловому потоку Ф и температуре Т имеет вид

(4г)

где – теплоемкость тела, зависящая от удельной теплоемкости с и массы m тела: .

В гидравлических и пневматических подсистемах значения С характеризуют степень сжимаемости жидкости (газа) при плотности ρ и объеме V: C=pβ V. При этом связь между давлением ρ и расходом Qm определяется формулой

. (4д)

Аналогия уравнений типа (4) не является чисто формальной с точки зрения одинакового математического описания. Вероятно, за этой аналогией стоят скрытые закономерности, присущие природе в форме энергетических либо иных взаимных соответствий, тем более, что для всех рассмотренных подсистем между фазовыми переменными F и V существуют также аналогии для элементов типов L и R. Возвращаясь к элементу типа С, мы можем отметить, что С есть мера «емкости» или мера «инертности» при взаимодействии фазовых переменных в формах потока и потенциала, а точнее, при взаимосвязи потока со скоростью изменения потенциала. В механических подсистемах мерой инертности служит масса, в электрических и тепловых – емкость (теплоемкость). Изменение во времени потенциала (скорости движения в механических подсистемах, напряжения в электрической цепи, температуры при нагреве тела) приводит к изменению потока (движущей силы в механических системах, силы тока в электрических цепях, теплового потока при нагреве тел). Мерой взаимного соответствия этих изменений служит величина С. Чем больше емкость конденсатора, масса автомобиля, теплоемкость чайника с водой, тем труднее зарядить конденсатор до напряжения U, разогнать автомобиль до скорости v, нагреть воду до температуры Т.

Элемент типа L. Элемент типа L на эквивалентных схемах электрических и других подсистем изображают как катушку индуктивности (рис. 3, а). Для механических подсистем обычно используют условное обозначение пружины (рис. 3, б).

Компонентное уравнение для элемента типа L записывают в виде

(5)

где V, F – потенциальная и потоковая фазовые переменные.

В электрических подсистемах элемент типа L определяет индуктивность, при этом напряжение U связано с силой тока I зависимостью

. (5 а)

Для механических подсистем компонентное уравнение

(5 6)

может быть получено путем дифференцирования по времени уравнения пружины F= kx, где х – перемещение; k – жесткость пружины. В формуле (5, б) аналог электрической индуктивности L характеризует податливость пружины .

Рис. 3. Элемент типа L

Аналогичное компонентное уравнение можно получить для упругого стержня, используя закон Гука. При растяжении (сжатии) будем иметь

; (5 в)

при изгибе

; (5 г)

при кручении

(5 д)

где Е, G – модули упругости при растяжении и сдвиге; А – площадь поперечного сечения; J, Jk – моменты инерции при изгибе и кручении.

В гидравлических и пневматических подсистемах давление р идеальной жидкости (газа) связано с массовым расходом Q уравнением

(5 е)

где Lp – l/A зависит от длины трубопровода l и площади его поперечного сечения А. Для реальных жидкостей формула (5е) не учитывает массовые силы и гидравлическое сопротивление, которые могут быть учтены дополнительно

Элемент типа R. Условное графическое изображение элемента типа R показано на рис. 4 для электрических (а) и механических (б) подсистем. Общее уравнение такого элемента имеет вид

F= V/R. (6)

В электрических подсистемах этому уравнению соответствует закон Ома

; (6 a)

в механических — уравнение вязкого трения:

(6 б)

где — величина, обратная коэффициенту вязкого трения;

в гидравлических — отмеченное выше гидравлическое сопротивление:

, (6 в)

где – аналог электрического сопротивления (v – кинематическая вязкость; d, l — диаметр и длина трубопровода);

в тепловых подсистемах:

(6 г)

где тепловой поток Ф и температура Т зависят от конвекционного сопротивления Rk.

Таким образом, во всех рассмотренных подсистемах можно установить аналогии фазовых переменных типа потока и потенциала (табл. 1).

Рис. Элемент типа R

17.3 Источники энергии и преобразователи. Аналоги топологических уравнений

Условное графическое изображение источников энергии типа Е и I показано на рис. 5.

На рис.. 6, а приведена схема трансформатора, имеющего математическую модель

(7)

где Т – коэффициент трансформации.

Рис. 5.Источники энергии

Примерами трансформаторов в механических подсистемах могут служить рычаги энергии и редукторы.

Гиратор (рис. 6, б) имеет модель

(8)

где G – коэффициент гирации.

Примером гиратора может служить гидроцилиндр, в котором давление Р преобразуется в силу F, действующую на поршень.

Рис. 6.Схемы трансформаторной (а) и гираторной (б) связи

Топологические уравнения типа (7), (8) в большинстве физических подсистем базируются на уравнениях равновесия и уравнениях неразрывности. Ниже рассмотрены аналогии топологических уравнений в подсистемах различной физической природы. Условимся снабжать индексом i элементы, примыкающие к данному узлу, а индексом j – входящие в данный контур, при этом в знаках суммы (∑)обозначения «» или «», где p, q – соответственно множество ветвей, примыкающих к узлу i и входящих в контур j, будем опускать.

Электрическая подсистема

Уравнения равновесия определяют равенство нулю суммы токов в узлах сопряжения элементов; их находят по первому закону Кирхгофа:

(9)

Уравнения неразрывности соответствуют второму закону Кирхгофа. Они выражают равенство нулю суммы падений напряжений на элементах схемы, образующих контур:

. (10)

Механическая подсистема

Уравнения равновесия отражают принцип Д' Аламбера: сумма сил, действующих на тело, включая инерционные, равна нулю:

(9 а)

Для вращательных подсистем суммируются моменты сил, действующих относительно оси вращения.

Уравнения неразрывности определяются принципом сложения скоростей: абсолютная скорость является суммой относительной и переносных скоростей (которых может быть несколько: с первого тела на второе, со второго на третье и т. д.).

. (10 а)

Для вращательных подсистем следует суммировать угловые скорости.

Гидравлическая (пневматическая) подсистема

Уравнения равновесия определяют равенство нулю потоков Q, подтекающих к узлу или оттекающих от него:

(9 б)

Уравнения неразрывности соответствуют сумме падений давлений при обходе по контуру:

. (10 6)

Тепловая подсистема

Уравнения равновесия определяют равенство нулю суммы тепловых потоков , подтекающих или оттекающих от узла, т. е.

(9 в)

Уравнения неразрывности соответствуют сумме разности температур Tj на участках, входящих в замкнутый контур:

. (10 в)

Источники энергии типа потока J и разности потенциалов Е делят на независимые и зависимые.

Независимые источники используют для моделирования постоянных воздействий на объект, например, сила тяжести может быть отражена постоянным источником силы F, напряжение питания электрической схемы – источником типа разности потенциалов.

Зависимые источники делят на две группы: источники, зависимые от времени, и источники, зависимые от фазовых переменных. Первые используют для моделирования внешних воздействий, вторые – для отражения нелинейных свойств объекта, а также для отражения взаимосвязей между подсистемами различной физической природы.

Примером взаимной зависимости двух подсистем p и q различной физической природы может служить трансформаторная связь этих подсистем (см. рис. 6). Зависимый источник разности потенциалов в одной подсистеме зависит от разности потенциалов на зависимом источнике потока другой подсистемы, который, в свою очередь, зависит от потока через первый источник.

Эквивалентные схемы технических объектов строят путем объединения в ансамбль всех элементов подсистем (в том числе различной физической природы), образующих данный технический объект. В эквивалентной схеме отражаются элементы и свойства реального объекта, оказывающие существенное влияние на его функционирование.

Двухполюсники (см. рис. 2...6), моделирующие элементы и (или) компоненты подсистем, соединяют между собой в соответствии со структурой подсистемы и с учетом функциональных связей между компонентами. В первую очередь рекомендуется объединять наиболее существенные элементы. Так, при моделировании механических подсистем вначале выделяют компоненты типа массы. Один из полюсов двухполюсника (рис. 2, б) соединяют с базовым узлом, отражающим инерциальную систему отсчета, второй полюс характеризует воздействие этой массы на некоторые элементы объекта, поэтому его следует соединить с полюсами этих элементов. Далее в механической подсистеме выделяют элементы трения и упругости. Элементы трения (рис. 4) включают между контактирующими телами, элементы упругости (рис. 3) – между телами, соединенными упругой связью. Внешние силы отображают включением источника силы между базисным и тем узлом, к которому подключен элемент массы, подверженной действию этой силы.

Построение эквивалентных схем рассмотрим на конкретных примерах.

Муфта сцепления автомобиля (рис. 7) служит для регулирования плавного соединения коленчатого вала двигателя с первичным валом коробки передач.

Рис. 7.Муфта сцепления (а) и её эквивалентная схема (б)

Крутящий момент через вал имеющий крутильную жесткость передается на маховик и диск с фрикционной накладкой . Суммарный момент инерции ведущего диска равен . Небольшая часть крутящего момента теряется в подшипнике с коэффициентом трения . Когда диски прижаты друг к другу, крутящий момент через фрикционные накладки передается на ведомый диск и далее через вал , на коробку передач.

Эквивалентная схема полностью отражает механизм передачи крутящего момента от двигателя до коробки передач. Момент моделируется током трение в подшипнике – резистором , гибкость вала – индуктивностью , масса ведущего диска – моментом инерции . Работу фрикционных накладок отражает резистор R. Дальнейшая передача момента от диска до коробки передач аналогична рассмотренной.

Примером механической поступательной системы (рис. 8) служит автомобиль массой , который перевозит груз массой и прицеп массой . В прицепе находится подпружиненный груз массой .

Рис. 8.Поступательная механическая система и её эквивалентная схема:

На рисунке F – тяга автомобиля; и – приведенные коэффициенты трения между грузами и кузовами автомобиля и прицепа; и – упругости сцепления и пружины крепления груза к прицепу

В качестве примера системы, состоящей из электрической, механической и пневматической подсистем, рассмотрим вибронасос (рис. 9). Под воздействием переменного магнитного поля, возникающего в зазоре электромагнита, приходит в движение груз массой т. Этот груз, шарнирно связанный через рычаг с насосом, действует на сильфон S, который, пульсируя, прокачивает воздух через клапаны k.

Рис. 9.Схема вибронасоса

В устройстве можно выделить конструктивно самостоятельные простые подсистемы, доказанные на эквивалентной схеме замещения (рис. 10): обмотку электромагнита 1, электромагнит 2, рычажный механизм 3, сильфон и воздушную магистраль с клапаном Связи этих подсистем осуществляются гираторами для пар 1-2 и 3-4 и трансформатором – для пары 2-3.

Рис.10.Эквивалентная схема замещения вибронасоса

17.4 Метод получения топологических уравнений

Эквивалентная схема технической системы может быть представлена в виде графа, ребра которого изображают двухполюсники, замещающие элементы (компоненты) системы. Пусть задан граф (рис. 11) некоторой технической системы. Топологические уравнения равновесия (типа уравнений первого закона Кирхгофа) могут быть записаны для каждого сечения, которое может включать один или несколько узлов. Для узлов, отмеченных на рис. 11, можем записать (принимая знак минус при направлении ребер к рассматриваемому узлу) следующие уравнения:

сечение 1 ;

сечение 1-5 ;

сечение 2 (11)

сечение 4 .

Топологические уравнения неразрывности (аналоги второго закона Кирхгофа) будут иметь вид:

(12)

Процедура получения уравнений (11), (12) может быть формализована. Для этой цели вводят матрицу контуров и сечений – М-матрицу. Такую матрицу строят с помощью ориентированного графа эквивалентной схемы и выбранного для этого графа дерева. Количество столбцов матрицы соответствует числу ветвей дерева, а количество строк – числу хорд.

Рис.11.Граф эквивалентной схемы

При формировании М-матрицы хорды поочередно включают в дерево с образованием замкнутого контура. При обходе этого контура в направлении включенной хорды формируют строку матрицы. В столбцах матрицы, соответствующих ветвям дерева, ставят +1 при совпадении направления ветви с направлением обхода и -1, если направления противоположны.

Рассмотрим построение М-матрицы (табл. 1) для графа, показанного на рис. 11. Принимая пятый узел за базовый, построим дерево графа (рис. 12). При подключении хорды 1-2 образуется контур 1-2, 2-3, 3-5, 1-5, поэтому в первой строке матрицы будем иметь ‒ 1 (для ветви 1-5), + 1 (для ветвей 2-3, 3-5) и 0 (для ветви 3-4). Аналогично заполняют остальные строки.

Таблица 10.2

Топологические уравнения с использованием М-матрицы имеют вид:

(13)

где – векторы переменных типа разности потенциалов на ветвях дерева и хордах;

– векторы переменных типа потока для ветвей дерева и хорд.

Записывая первое уравнение (13) в развернутом виде

вы можете убедиться, что оно совпадает с системой уравнений (12). Аналогично, второе уравнение (13) совпадает с (11). Таким образом, использование М-матрицы позволяет формализовать процедуру получения математической модели. При этом сечения дерева специально выбирать не надо. Выше такие сечения приведены для наглядности.

Рис.12. К построению М-матрицы

Возможна иная формализация процедуры построения математической модели с использованием матрицы инциденций. Будем рассматривать исходный граф (см. рис, 11) как хорды некоторого фиктивного дерева (рис. 13), ветви которого на рисунке изображены пунктирными линиями.

Составим М-матрицу, поочередно включая в фиктивное дерево хорды исходного графа. Так, контур 1-5 состоит из хорды 1-5 и ветви 1-5, направление которой противоположно хорде, поэтому в М-матрице этой ветви будет отвечать значение – 1. В контуре 2-3-5 направление ветви 3-5 совпадает с направлением хорды, а для ветви 2-5 – не совпадает, поэтому будем соответственно иметь +1 и -1. Включая последовательно все хорды, получим М-матрицу (рис. 13), приведенную в табл. 2, или, выделяя содержательную часть М-матрицы.

Рис.13.Граф с фиктивным деревом

(14)

Таблица 10.3

Рассмотрим второе уравнение системы (13), которое будет справедливо для М-матрицы (14), но с некоторым отличием. Это отличие связано с тем, что было построено фиктивное дерево, поэтому в ветвях его не будет токов и, следовательно, исходное уравнение примет вид . Индекс «х» у вектора J мы опустили, поскольку хордами являются все ребра исходного графа. Обратите внимание, что транспонированная М-матрица представляет собой не что иное, как матрицу инциденций исходного графа (см. рис.), записанную с обратными знаками:

(15)

Все это позволяет записать второе уравнение системы (13) в ином виде: .

Первое уравнение системы (13) изменится следующим образом. Разность потенциалов ветвей дерева Uvd есть разность потенциалов i- й и базовой точек, т. е. потенциал i- й точки . М-матрица будет равна , поэтому первое уравнение системы (13) примет вид .

Все сказанное дает возможность записать систему уравнений (13) в следующей форме:

(16)

Таким образом, возможны два способа формализации процедур построения математической модели для описания эквивалентной схемы технического объекта, в одном из которых используют систему уравнений (13) и М-матрицу, в другом – систему уравнений (16) и матрицу инциденций ориентированного графа.

В качестве примера рассмотрим механическую систему (рис. 14, а), эквивалентная схема (б) и граф (в) которой изображены на рисунке. Матрица инциденций приведена в табл. 3.

Таблица 3

Рис. 14.К примеру механической системы

Первое уравнение (16) в развернутой форме имеет вид:

где потоковые переменные JR, JL, Jm=Jc типов R, L, С можно записать в форме приведенных выше зависимостей между фазовыми переменными. В результате будет получена система дифференциальных уравнений. Транспонируя матрицу инциденций и используя второе уравнение системы (16), аналогично можно получить систему дифференциальных уравнений для переменных типа потенциала.

Литература:

1. Ильина Н.В. Системный анализ и моделирование процессов в техносфере: Учеб. пособие / Н.В. Ильина, Д.Д. Лапшин, В.И. Федянин. – Ч. 1. Воронеж: ГОУВПО «Воронежский государственный технический университет, 2008. – 206 с.

Лекция 18. Многокритериальная оптимизация

18.1 Свойства задач принятия решения со многими критериями

В технической практике задачи ПР с учетом нескольких критериев возникают достаточно часто. Сложность подобных задач существенно выше, чем при наличии одного критерия. Если при этом еще учитывать и неоднозначность внешних воздействий, то для получения корректного результата кроме математических знаний необходим также и опыт в соответствующей предметной области.

Теоретически можно представить случай, когда во множестве окажется одна альтернатива, для которой все r критериев (целевых функций) принимают наибольшие значения (в предположении, что все критерии максимизируются). Естественно, что данная альтернатива и будет наилучшей. К сожалению, на практике такие ситуации практически не встречаются, а типичным является случай, представленный на рис. 1, для двух целевых функций.

Рис. 1. Ситуация ПР для двух критериев

При Х* максимума достигает одна целевая функция, а при Х** – другая; нам же предстоит сделать только один выбор. Очевидно, что ППР здесь становится менее прозрачным.

Сформулируем некоторые очевидные положения для подобных ситуаций:

1. Не существует результата наилучшего в абсолютном смысле.

2. Решение может считаться лучшим лишь для конкретного ЛПР, с учетом его предпочтений.

3. Для нахождения приемлемого результата должна строиться многокритериальная модель, которая создается для уточнения предпочтений ЛПР. Она должна быть логически непротиворечивой и должна включать в себя основные свойства решаемой задачи.

Прежде чем переходить к рассмотрению многокритериальных задач, остановимся на предпосылкахих постановки, т.е. укажем причины, порождающие проблему многокритериальности. Для этого обратимся к блок-схеме, приведенной на рис. 2 в лекции 2 (рис. 2). Данная схема отражает рациональную логическую последовательность этапов при подготовке и принятии решений.

С проблемой многокритериальности лицо, принимающее решение, сталкивается на этапе 7 (Выбор наиболее предпочтительного вариата решения). Вместе с тем, ЛПР на более ранних этапах (2 и 3 при формулировании цели и критериев оценки) сам предопределяет постановку многокритериальной задачи. Следовательно, предпосылкой постановки многокритериальной задачи является необходимость проведения этапа 3 (формирования системы критериев). Этот этап может и отсутствовать, если цель принятия решения четко определяется одним критерием.

В практических задачах цель – весьма сложное понятие, которое даже содержательно не всегда удастся четко определить, тем более, количественно измерить степень ее достижения. Поэтому осуществляется декомпозиция сложного понятия " цель принятия решения" на более простые единичные критерии, каждый из которых может быть количественно измерен. В большинстве случаев в качестве единичных критериев используются общепринятые характеристики исследуемого объекта, измеряемые по шкалам интервалов или отношений.

Полное и четкое описание цели множеством критериев является основой успешного решения поставленной задачи принятия решений.

Таким образом, причинами проведения этапа 3 и, соответственно, предпосылками постановки многокритериальных задач являются сложность цели принятия решений и трудность измерения степени достижения цели различными вариантами решения задачи.

Рис. 2. Этапы подготовки и принятия решений

Следовательно, постановку многокритериальной задачи предопределяет сам исследователь (ЛПР) из-за того, что не смог сформировать в математическом виде целевую функцию, а на этапе 7 он сталкивается с необходимостью решения многокритериальной задачи.

Следует отметить, что поскольку описание цели системой критериев является неформальной процедурой, то и последующее агрегирование критериев на этапе 7 также не является формальной процедурой. Поэтому решение многокритериальной задачи не является строгой математической задачей, а представляет собой набор процедур, помогающих ЛПР разобраться и уточнить цель принятия решений, устранить ошибки в своих оценках, сделать свое поведение в процессе выбора рациональным.

Примеры постановок многокритериальных задач из разных областей деятельности:

Выбор площадок для строительства промышленных объектов. В данной задаче необходимо учитывать группы критериев: экономические, экологические, социальные, критерии безопасности и т.д.

Оценка качества продукции (технического уровня разработок) по множеству потребительских свойств. Следствием данной задачи является определение цены на продукцию на основе потребительских свойств.

Проектирование на основе принципа многовариантности. Каждый из вариантов в абсолютном большинстве оценивается множеством критериев. В этой связи следует подчеркнуть, чтосистемы автоматизированного проектирования должны включать подсистему выбора и оценки решений по многим критериям.

Проведем классификацию многокритериальных задач (рис. 3).

Рис. 3. Классификация МКЗ

По характеру решаемой многокритериальной задачи (МКЗ) можно выделить два класса задач.

Задачи, в которых множество объектов конечно, будем называть дискретными многокритериальными задачами (ДМКЗ). В задачах этого класса множество многокритериальных объектов в пространстве критериев f 1´ f 2´ ... ´ fm представляет собой множество дискретных точек. Дискретные МКЗ чаще всего ставятся в экономике и квалиметрии.

Второй класс образует непрерывные многокритериальные задачи (НМКЗ), которые формулируются следующим образом:

Имеется объект исследования, характеризующийся параметрами x 1,..., xn. Требуется определить оптимальные в некотором смысле значения этих параметров с учетом нескольких критериев (целевых функций) k 1,..., km. При этом задана область определения параметров x 1,..., xn и целевые функции k 1 =f 1 (x 1,..., xn);...; km=fm(x 1,..., xn).

Область определения параметров (переменных) задается обычно в виде системы ограничений, например, в многокритериальных задачах линейного программирования – система линейных неравенств. Поэтому непрерывную многокритериальную задачу можно рассматривать как задачу, в которой бесконечное множество объектов.

Так как непрерывные МКЗ, как правило, возникают при оптимизации параметров сложных объектов, то в литературе их еще называют задачами векторной оптимизации. Одной из задач векторной оптимизации является многокритериальная задача линейного программирования.

Будем называть каждый из скалярных критериев оптимальности частным критерием оптимальности. Совокупность частных критериев оптимальности будем называть векторным критерием оптимальности. Предполагаем, что ставится задача оптимизации каждого из частных критериев оптимальности в одной и той же области допустимых значений D.

Вторым признаком классификации многокритериальных задач является вид требуемого результата решения задачи. По этому признаку выделим следующие классы многокритериальных задач:

задачи, в которых необходимо выделить из множества объектов один наиболее предпочтительный объект (получить одно наиболее предпочтительное решение). В некоторых случаях может быть выделено не одно, а подмножество эквивалентных и наиболее предпочтительных объектов. Постановка задачи выделения наиболее предпочтительного объекта может быть как для дискретных, так и для непрерывных многокритериальных задач;

задачи, в которых необходимо упорядочить многокритериальные объекты. Постановка многокритериальной задачи в таком виде чаще всего имеет место для дискретных МКЗ, например, упорядочить по предпочтению варианты технических систем, по качеству – образцы продукции;

задачи, в которых требуется дать оценку полезности (качества) объектов по шкале интервалов. Другими словами, необходимо построить функцию полезности. Очевидно, что такая постановка задачи может быть как для дискретных, так и для непрерывных МКЗ;

задачи, в которых требуется выделить подмножество эффективных (конкурирующих) объектов. Такие подмножества называют оптимальными по Парето, но об этом более подробно поговорим чуть позже.

18.2. Формирование множества критериев

Количество критериев должно охватывать все особенности задачи. Число критериев считается полным и достаточным, если прибавление нового критерия не изменит результата решения, а отбрасывание критерия этот результат меняет. Все критерии не должны сильно коррелировать друг с другом. Степень корреляции между μ и ν критериями можно определить по следующей формуле:

где

где Хi – случайная альтернатива из множества , i=1, …, N; fμ (Хi), fν (Хi) – критерии; N – число случайных испытаний.

Если K mn приближается к 1, то это свидетельствует о сильной корреляции критериев. Тогда необходимо рассмотреть вопрос об исключении одного из критериев.

Каждому критерию может быть поставлена в соответствие своя координатная ось и шкала. Последняя может быть непрерывной или дискретной, количественной или качественной (рис. 4).

Рис. 4. Выбор альтернативы с учетом двух критериев: а — в случае непрерывной области альтернатив; б — в случае дискретных альтернатив

Каждую ось будем обозначать буквой fk, k = 1, 2, …, r. f 1 × f 2 ×... × fr – декартово произведение, которое формирует пространство критериев, где имеет место множество векторных оценок. Между пространством параметров и пространством критериев существует соответствие (рис. 5).

Рис. 5. Пространства параметров и критериев:

D – допустимая область, DФ – аналог допустимой области в пространстве критериев

18.3 Методология решения многокритериальных задач

При решении многокритериальных задач обычно задаются параметрические ограничения вида xi min ≤ xi ≤ xi mах, при i=1, 2, …, n, которые формируют в пространстве параметров n-мерный параллелепипед (рис. 4, а). Далее предполагается, что заданы функциональные ограничения вида pj (x) ≤ 0, при j=1, 2, …, m, которые вырезают в параллелепипеде некоторую часть D, состоящую из точек Х, удовлетворяющих одновременно параметрическим и функциональным ограничениям. В лекции 5 эту часть пространства мы называли допустимой областью (ДО). Множество D может оказаться весьма сложным, например, состоящим из нескольких отдельных частей (рис. 6, б, закрашенные участки).

Наконец, предполагается, что заданы соответствующие критерии fk (Х i), k =1, 2, …, r. Для определенности здесь будем считать, что критерии f 1, …, fr желательно уменьшить.

Предположим, что ЛПР сумел указать разумные критериальные ограничения вида , при k =1, 2, …, r. При этом – значение для одной из линий равного уровня n -го критерия.

Очевидно, – это наихудшее значение критерия, на которое ЛПР может согласиться. Обозначим через G множество точек Х, которые удовлетворяют параметрическим, функциональным и критериальным ограничениям. Понятно, что (рис. 6, в, закрашенные области).

а)

б)

в)

Рис. 6. Формирование параметрическими (а), функциональными (б) и критериальными (в) ограничениями области поиска экстремума

Наилучшее решение целесообразнее искать среди точек множества G, а не среди точек множества D, поскольку, если точка , то значения всех критериев в этой точке приемлемы. Понятно, что завышенные требования ЛПР могут привести к G=0, т.е. область поиска решений окажется пустой.

При решении многокритериальных задач выбора основная трудность состоит в неоднозначности выбора наилучшего решения. Для ее преодоления используют две группы методов.

В методах первой группы стремятся сократить число критериев, для чего вводят дополнительные предположения, относящиеся к процедуре сопоставления критериев и построению моделей оптимизации. В методах первой группы стремятся сократить число альтернатив в исходном множестве, исключив заведомо плохие альтернативы.

К методам первой группы относятся метод свертки, метод главного критерия, метод пороговых критериев и метод расстояния.

Методы второй группы основаны на свертке в множестве альтернатив. С их помощью пытаются уменьшить число возможных вариантов решений, исключив заведомо плохие. Один из подходов, обладающий большой общностью, называется методом, основанным на принципе Парето. Для уменьшение числа альтернатив исходного множества выделяют множество Парето, являющееся подмножеством исходного.

После того, как построено множество Парето, для определения наилучшего решения (из оставшихся) применяются методы первой группы либо графические методы, например, метод диаграмм. Схема поиска наилучшего решения представлена на рис. 7.

Рис. 7. Схема поиска наилучшего решения

Подчас необходимые для определения предпочтений знания в области ТПР, умения и навыки у ЛПР отсутствуют, а требуемые для совершения этой работы активные ресурсы – время, деньги, специальное математическое обеспечение и т. п. – отсутствуют в нужных количествах. Да ведь и не все проблемы, возникающие перед ЛПР, на практике оказываются столь важными, чтобы обязательно и как можно более точно моделировать его предпочтения. Как тут быть? Во всех перечисленных случаях для отыскания, наилучшей альтернативы ТПР рекомендует ЛПР следовать принципу Родена. Когда у этого великого скульптора спросили, как ему удается создавать столь великие шедевры, Роден ответил: «Я просто беру глыбу мрамора и отсекаю от нее все лишнее!».

Прекрасная идея: последовательно отсекайте от множества альтернатив все элементы, которые «не нужны», которые являются «лишними», а то, что останется (не лишнее) – это и есть то, что вам нужно – наилучшая альтернатива (или несколько эквивалентных по предпочтительности наилучших альтернатив). Концептуальную идею, изложенную в вербальной форме Роденом, реализовал в формальном виде и превратил в одну из наиболее эффективных функций выбора видный социолог и итальянский экономист Вильфредо Парето в 1897 году.

Он рассматривал распределение богатства и доходов в Англии XIX века. Он выяснил, что большая часть доходов и материальных ценностей принадлежит меньшинству людей в исследованных группах. Возможно, что для Парето не было в этом ничего удивительного. Однако он также установил два очень примечательных, по его мнению, факта. Первым был тот, что существует неизменное математическое соотношение между численностью группы людей (в процентах от общей численности рассматриваемого населения) и долей богатства или дохода, контролируемой этой группой. Другими словами, если известно, что 20% населения владеют 80% материальных ценностей, то можно с уверенностью сказать, что 10% населения имеют приблизительно 65% материальных ценностей, а 5% населения — 50%. Для Парето главным здесь были не цифры процентного соотношения, а тот факт, что распределение богатства среди населения предсказуемо несбалансированно.

Другой находкой Парето, восхитившей его, было то, что данная схема дисбаланса оставалась неизменной для статистических данных, относящихся к различным периодам времени и различным странам. Будь то данные по Англии за любой период ее истории или доступные Парето данные по другим странам за разные периоды времени, выяснялось, что схема снова и снова повторяется, причем с математической точностью.

Его открытие называли по-разному, в том числе принципом Парето, законом Парето, правилом 80/20, принципом наименьшего усилия, принципом Дисбаланса.

Принцип 80/20 гласит, что небольшая доля причин, вкладываемых средств или прилагаемых усилий, отвечает за большую долю результатов, получаемой продукции или заработанного вознаграждения. Например, на получение 80% результатов, достигаемых в работе, у вас уходит 20% всего затраченного времени. Выходит, что на практике 4/5 приложенных вами усилий (немалая доля) не имеют к получаемому результату почти никакого отношения. Это, кстати, расходится с тем, чего люди обычно ожидают.

Введем на множестве D отношение предпочтения (обозначим его символом ). Будем говорить, что вектор предпочтительнее вектора , и писать , если среди равенств и неравенств имеется хотя бы одно строгое неравенство (рис. 6).

Аналогично на множестве DФ введем отношение доминирования: будем говорить, что векторный критерий оптимальности доминирует векторный критерий оптимальности , и писать , если .

Другими словами, объект доминирует объект , если по всем критериям предпочтительнее или эквивалентен , и хотя бы по одному критерию строго предпочтительнее. Объект называют доминирующим, а – доминируемым.