Студопедия

Главная страница Случайная страница

КАТЕГОРИИ:

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






Тригонометрические функции острого угла






               
       

В прямоугольном треугольнике, имеющем данный угол a, отношения сторон не зависят от размеров треугольника. Рассмотрим два прямоугольных треугольника АВС и А1В1С1 (рис.1), имеющих равные углы Ð А=Ð А1 =a. Из подобия этих треугольников имеем:

       
   

Если величину угла a измерить, то написанные равенства остаются справедливыми, а измениться

 

лишь числовое значение отношений и т.д. Поэтому отношения

В1
можно рассматривать как функции угла a.

       
   
 
 

 

       
 
   
 

                   
   
     
С1
   
b
       
b1
 
 
 
       
   
 
 

 


Рис.1.

Синусом острого угла называется отношение противоположного этому углукатета к гипотенузе. Обозначают это так:

 
 


sin a=

 

Значения тригонометрических функций (отношений отрезков) являются отвлеченными числами.

Приближенные значения тригонометрических функций острого угла можно найти непосредственно согласно их определениям. Построив прямоугольный треугольник с острым углом a и измерив его стороны, согласно определениям мы можемвычислить значение, например, sina.

Пользуясь тем, что значения тригонометрических функций не зависят от размеров треугольника, для вычисления значений sin углов a=30°; 45°; 60° рассмотрим прямоугольный треугольник с углом a=30°; и катетом ВС = a =1, тогда гипотенуза этого треугольника с =2, а второй катет b =Ö 3; рассмотрим также треугольник с углом a=45° и катетом a =1, тогда для этого треугольника c =Ö 2 и b =1.

Полученные результаты запишем в таблицу.

  30° 45° 60°
sina      

 
 

Рис.2.

Приближенные значения тригонометрических функций для углов от 0° до 90° можно получить построив четверть круга, радиус которогопримем за 1, и его дугу разделимна 45 равных частей. Тогда градусная мера каждой части будет равна 2°.

N


0, 79

а

А b С 0, 62 0° M Рис.3.

Радиусы АМ и АN разделим на 100 равных частей. Построим прямоугольный треугольник с вершиной в центре круга и катетом совпадающим с радиусом АМ и гипотенузой АВ =1. Если угол ВАС =a, то по определению тригонометрических функций мы имеем:

 

sin a= а

 

Для угла 52° на шкале радиуса АN находим, что а =0, 79, а на шкале радиуса АМ находим, что b =0, 62., то есть sin 52°=0, 79.

Построив прямоугольные треугольники для углов a=2°, 4°, 6°, 8°, …, 88°, согласно рис.3., найдем значения (при аккуратных измерениях и вычислениях) с точностью до 0, 01. Для углов 0° и 90° прямоугольных треугольников не существует. Однако, если гипотенуза АВ будет стремиться по положению к радиусу АМ, то угол a®0, а катеты а ®0 и b ®1. В таком случае для полноты значений тригонометрических функций принимают, что

sin 0°= а =0; cos 0°= b =1.

 

Что касается значений tg a и ctg a, то при a®0 отношение ®0, т.е., а отношение при a®0 неограниченно возрастает. Этот результат записывают как ®¥, где символ ¥ указывает, что величина неограниченно возрастает и не может быть выражена никаким числом, так как знак ¥ не является каким-либо числом. Таким образом, принимают, что tg 0°=0, а ctg 0° не существует, что чаще записывают как ctg 0°=¥.

Рассуждая аналогично при a®90° приходим к целесообразности принять что

sin 90°=1; cos 90°=0, tg 90° не существует (tg 90°®¥) и ctg 90°=0.

 

Приведем таблицу значений синусов для углов от 0° до 90° с шагом 2°, которую можно получить указанным выше способом.

градусы                        
sin 0, 00 0, 03 0, 07 0, 10 0, 14 0, 17 0, 21 0, 24 0, 28 0, 31 0, 34 0, 37
градусы                        
sin 0, 41 0, 44 0, 47 0, 50 0, 53 0, 56 0, 59 0, 62 0, 64 0, 67 0, 69 0, 72
градусы                        
sin 0, 74 0, 77 0, 79 0, 81 0, 83 0, 93 0, 87 0, 88 0, 90 0, 91 0, 93 0, 94
градусы                        
sin 0, 95 0, 96 0, 97 0, 98 0, 98 0, 99 0, 99 1, 00 1, 00 1, 00    

Пользуясь значениями тригонометрической функции y = sinx из таблицы, построим график.

y

 
 
y=sinx


 

0 30° 60° 90° x

Рис.4.


Поделиться с друзьями:

mylektsii.su - Мои Лекции - 2015-2024 год. (0.008 сек.)Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав Пожаловаться на материал