Тригонометрические функции острого угла

Если величину угла a измерить, то написанные равенства остаются справедливыми, а измениться

лишь числовое значение отношений и т.д. Поэтому отношения

			С1
		b
				b1

Рис.1.

Синусом острого угла называется отношение противоположного этому углукатета к гипотенузе. Обозначают это так:

sin a=

Значения тригонометрических функций (отношений отрезков) являются отвлеченными числами.

Приближенные значения тригонометрических функций острого угла можно найти непосредственно согласно их определениям. Построив прямоугольный треугольник с острым углом a и измерив его стороны, согласно определениям мы можемвычислить значение, например, sina.

Пользуясь тем, что значения тригонометрических функций не зависят от размеров треугольника, для вычисления значений sin углов a=30°; 45°; 60° рассмотрим прямоугольный треугольник с углом a=30°; и катетом ВС = a =1, тогда гипотенуза этого треугольника с =2, а второй катет b =Ö 3; рассмотрим также треугольник с углом a=45° и катетом a =1, тогда для этого треугольника c =Ö 2 и b =1.

Полученные результаты запишем в таблицу.

Приближенные значения тригонометрических функций для углов от 0° до 90° можно получить построив четверть круга, радиус которогопримем за 1, и его дугу разделимна 45 равных частей. Тогда градусная мера каждой части будет равна 2°.

N

0, 79

а

А b С 0, 62 0° M Рис.3.

Радиусы АМ и АN разделим на 100 равных частей. Построим прямоугольный треугольник с вершиной в центре круга и катетом совпадающим с радиусом АМ и гипотенузой АВ =1. Если угол ВАС =a, то по определению тригонометрических функций мы имеем:

sin a= а

Для угла 52° на шкале радиуса АN находим, что а =0, 79, а на шкале радиуса АМ находим, что b =0, 62., то есть sin 52°=0, 79.

Построив прямоугольные треугольники для углов a=2°, 4°, 6°, 8°, …, 88°, согласно рис.3., найдем значения (при аккуратных измерениях и вычислениях) с точностью до 0, 01. Для углов 0° и 90° прямоугольных треугольников не существует. Однако, если гипотенуза АВ будет стремиться по положению к радиусу АМ, то угол a®0, а катеты а ®0 и b ®1. В таком случае для полноты значений тригонометрических функций принимают, что

sin 0°= а =0; cos 0°= b =1.

Что касается значений tg a и ctg a, то при a®0 отношение ®0, т.е., а отношение при a®0 неограниченно возрастает. Этот результат записывают как ®¥, где символ ¥ указывает, что величина неограниченно возрастает и не может быть выражена никаким числом, так как знак ¥ не является каким-либо числом. Таким образом, принимают, что tg 0°=0, а ctg 0° не существует, что чаще записывают как ctg 0°=¥.

Рассуждая аналогично при a®90° приходим к целесообразности принять что

sin 90°=1; cos 90°=0, tg 90° не существует (tg 90°®¥) и ctg 90°=0.

Приведем таблицу значений синусов для углов от 0° до 90° с шагом 2°, которую можно получить указанным выше способом.

Пользуясь значениями тригонометрической функции y = sinx из таблицы, построим график.

y

0 30° 60° 90° x

Рис.4.