Тригонометрические функции произвольного угла

Пусть в прямоугольной системе координат x0y задан радиус-вектор образующий с положительным направлением оси 0x угол a. Будем считать, что ось 0x – начальная сторона, а вектор - конечная сторона угла a. Проекция вектора на координатные оси соответственно обозначим a_x и a_y.

Можно показать, что отношения где а – длина вектора, зависят только от

величины угла a и не зависят от длины вектора. Поэтому эти отношения можно рассматривать как функции произвольного угла a.

Синусом угла a, образованного осью 0x и произвольным радиусом-вектором, называется отношение проекции этого вектора на ось 0y к его длине:

y

A

x

Рис. 6.

Если не указано сколько оборотов совершил вектор вокруг точки 0, то положение вектора определяет угол с точностью до целого оборота, т.е углу с начальной стороной 0x и конечной стороной соответствует бесчисленное множество углов, которые выражаются формулой

360°·n+a, где n=0; ±1; ±2; ±3; ±4; …

и sin (a+360°· n)= sin a

Длина радиуса-вектора всегда число положительное. Проекция его на координатные оси величины алгебраические и в зависимости от координатных четвертей имеют следующие знаки:

В I четверти a_x> 0; a_y> 0;

Во II четверти a_x< 0; a_y> 0;

В III четверти a_x< 0; a_y < 0;

В IV четверти a_x> 0; a_y< 0/

График функции y=sinx

До сих пор аргументами тригонометрических функций рассматривались именованные величины – углы (дуги), измеренные в градусах или радианах. Значения тригонометрических функций, как отношения отрезков, являются абстрактными величинами (числами). При изучении свойств тригонометрических функций приходится сравнивать изменения функции в связи с изменениями аргумента, а сравнивать можно только однородные или, что еще лучше, абстрактные величины.

Кроме того, введение тригонометрических функций от абстрактного аргумента дает возможность применять эти функции в различных вопросах математики, физики, техники и т.д.

Вместо именованного значения аргумента тригонометрических функций в x (радианов) будем рассматривать абстрактное число где r обозначает радианы, ии по определению принять что

sinx, где x – абстрактное число, равен sinx, где x измерен в радианах.

Тригонометрические функции являются периодическими, то есть существует число а, отличное от 0, такое, что при любом целом nтождественно выполняется равенство:

f(x+na)=f(x), n=0; ±1; ±2...

Число а называется периодом функции. Период функции sinx равен 2p. Для нее имеет место формула:

sin(x+2pn)= sinx, где n=0; ±1; ±2...

График функции y=sinx называют синусоидой. Для построения графика можно взять значения аргумента x с определенным интервалом и составить таблицу значений y=sinx, соответствующих выбранным значениям x, а затем по точкам, как это часто делается в алгебре, построить график.

Строим в системе координат x₁0₁y₁ единичную окружность R=1 с центром 0₁ на оси абсцисс x₁. Дугу этой окружности начиная от точки начиная от точки оси абсцисс x₁ =+1, делим на n равных частей:

Затем строим вторую систему координат x0y, ось которой 0x совпадает с осью 0₁ x₁, но сначало координат 0₁ (x₁ =0) и 0 (x=0) у етих систем различные. В новой системе координат отрезок оси абсцисс от x=0 до x=2 p делим на n равных частей: Из точек деления окружности проводим прямые параллельные оси 0x, а из точек деления отрезка [ 0, 2p ] проводим прямые, перпендикулярные этой осм. Точки пересечения соответствующих прямых будут точками графика y=sinx, так как ординаты этихточек равны значениям синуса, соответствующим значениям аргумента в точках деления отрезка [ 0, 2p ].

Рис.8.

Некоторые свойства функции y=sinx

1. Непрерывность.

Функция y=sinx существует при всех действительных значения x, причем, график ее является сплошной кривой линией (без разрывов), т.е. функция sinx непрерывна.

2. Четность, нечетность.

Функция y=sinx нечетная и ее график симметричный относительно начала координат.

3. Наибольшие и наименьшие значения.

Все возможные значения функции sinx ограничены неравенствами

-1£ sinx £ +1,

причем sinx=+1, если

и sinx=-1, если

4. Нулевые значения (точки пересечения графика функции с осью абсцисс).

sinx=0, если x=pn (n=0; ±1; ±2; …).

5. Интервалы возрастания и убывания.

Функция возрастает, т.е. большему значению аргумента соответствует большее значение функции на интервалах

(n=0; ±1; ±2; …).

И убывает, т.е. большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции на интервалах

(n=0; ±1; ±2; …).