Решение

Будем использовать разбиение множества учащихся класса на попарно непересекающиеся подмножества - классы с помощью трех свойств: " быть лыжником"; " быть пловцом" и " быть велосипедистом".

Получим 8 классов:

лыжники пловцы 0 чел. 0 чел. Х 0 чел. Y Z 0 чел.   велосипедисты

Так как каждый спортсмен занимается только двумя видами спорта, устанавливаем, что численность четырех из восьми классов разбиения равна нулю (нет тех, кто занимается только лыжами, только плаванием, только велосипедом, и нет тех, кто одновременно занимается всеми тремя видами спорта).Численность же тех, кто составляет оставшиеся три класса спортсменов обозначим соответственно x, y, z. Далее, в соответствии с условием задачи, зная численность каждого из множеств, занимающихся лыжами, плаванием и велосипедом, получаем три уравнения:

x + z = 13

x + y = 8

y + z = 17

Сложим все уравнения и получим удвоенное число спортсменов: 2(x + y+ z)=38; значит всего спортсменов x + y+ z =19. Спортсмены учатся на " 3" или на " 4", следовательно, не являются отличниками, которых по условию в данном классе 6 человек. Всего в классе 25 человек, это и есть спортсмены и отличники, вместе взятые. Неуспевающих в этом классе, следовательно, нет.

Вариант 1.

1. Даны множества:

А = { yІ yÎ R, 3 ≤ y ≤ 9}; В ={ yІ yÎ Z, 2 < y < 10};

С = { y І yÎ N, y ≤ 9}

Изобразите их на числовой прямой и найдите А ∩ (В U С)и А\С.

2. Даны множества:

Е = ] -1; ∞ [ и М = [2; 9]. Найдите дополнения этих множеств до множества всех действительных чисел, пересечение дополнений.

3. Даны множества Р и К:

Найдите К ∩ Р, К U Р, К \ Р, Р \ К, если:

а) К = [2, 9 [, Р =[-1, 8];

б) К = [2, 9 ], Р =]-1, 8];

в) К = ]2, 9 [, Р =[-1, 8];

г) К = ]2, 9 ], Р =[-1, 8[.

4. Даны множества:

А= [-1, 4 ], В= ] 0, 6 ], С= [-3, 0], Д =] 1, 8]

Найдите: а)((А U С) ∩ В) U Д,

б)((А \ В) \ С) U Д,

в)(А ∩ В) \(С ∩ Д).

5. Начертите диаграмму Эйлера-Венна, если СÌ М, ЕÌ М,

С ∩ Е ¹ φ. Отметьте штриховкой множество .

6.С помощью диаграммы Эйлера-Венна исследуйте вопрос о справедливости рассуждения:

Если А, В, С - подмножества универсального множества М такие, что и , то ¹ φ.

7.Докажите справедливость равенства:

8. Проверьте правильность классификации:

четырехугольники делятся на параллелограммы, трапеции и прямоугольники.

9.Докажите, что пересечение множеств и образует пустое множество.

10. Анкетирование 100 студентов дало следующие результаты о количестве изучающих различные иностранные языки: английский язык изучают - 28 человек, немецкий - 30, французский -42, английский и немецкий - 8, английский и французский -10 человек, немецкий и французский - 5, все три языка одновременно изучают - 3 человека. Сколько студентов не изучают ни одного иностранного языка? Сколько студентов изучают один только французский язык? Сколько студентов изучают немецкий язык? -один английский? Сколько студентов изучают немецкий в том и только том случае, если они изучают французский?

Вариант 2.

1. Даны множества:

А = { x І x Î N, x > 3 }; В = { x І xÎ Z, x < 5 },

С = { x І xÎ R, 1 < x ≤ 7}

Изобразите их на числовой прямой и найдите (А ∩ В)\С и ВUС.

2. Даны множества:

Р= ] 0; 3 ] и К = [2; ∞ [.Найдите дополнения этих множеств до множества всех действительных чисел, объединение дополнений.

3. Даны множества В и С:

Найдите В ∩ С, В U С, В \ С, С \ В, если:

а) В = [0, 8 [, С =[-6, 10];

б) В = [0, 8 [, С =]-6, 10];

в) В = ]0, 8 [, С =[-6, 10];

г) В = ]0, 8 [, С =[-6, 10[.

4.Даны множества:

А= [1, 6], В= [2, 8], С= [-2, 3], Д= [1, 5]

Найдите: а)А U В U С U Д,

б)(А ∩ В) U (С ∩ Д),

в) ((А U В) ∩ С) U Д.

5. Начертите диаграмму Эйлера-Венна,

если Р ∩ К ∩ В ¹ φ. Отметьте штриховкой множество

К ∩ (Р U В).

6.С помощью диаграммы Эйлера-Венна обоснуйте утверждение: тогда и только тогда, когда и .

7.Докажите справедливость равенства:

8. Проверьте правильность классификации:

целые неотрицательные числа делятся на составные и простые числа.

9.Докажите, что пересечение множеств и образует пустое множество.

10. В лыжной, хоккейной и конькобежной секциях 38 человек. Известно, что в лыжной секции занимается 21 человек, среди которых 3 человека занимаются еще и в конькобежной секции, 6 человек еще в хоккейной секции и 1 человек занимается одновременно во всех трех секциях одновременно. В конькобежной секции занимаются 13 человек, среди которых 5 человек занимаются одновременно в двух секциях. Сколько человек в хоккейной секции?

Вариант 3.

1. Даны множества:

А = { yІ yÎ R, 2 < y ≤ 7}; В ={ yІ yÎ Z, 1 < y < 6};

С = { y І yÎ N, y ≤ 8}

Изобразите их на числовой прямой и найдите А U(В \ С)и В∩ С.

2. Даны множества:

О= ] 5; 13 ] и Н = [- ∞; 7 [.Найдите дополнения этих множеств до множества всех действительных чисел, объединение первого с дополнением второго.

3. Даны множества М и К:

Найдите М ∩ К, М U К, М \ К, К \ М, если:

а) М = [-2, 2 ], К =[-∞, 8];

б) М = [-2, 2 ], К =]-∞, 8];

в) М = ]-2, 2 [, К =[-∞, 8];

г) М = ]-2, 2 [, К =[-∞, 8[.

4. Даны множества:

А= [1, 3], В= ]2, 5], С= [3, 7[, Д= ]0, 4[.

Найдите: а)(А ∩ В) \ (С ∩ Д)

б) (А U В) \ (В U Д)

в)(А U Д)∩ (В U С).

5. Начертите диаграмму Эйлера-Венна, если

Р ∩ М ∩ О ¹ φ.Отметьте штриховкой множество

(М ∩ Р) U (М ∩ О).

6. С помощью диаграммы Эйлера-Венна обоснуйте утверждение:

Для того, чтобы , необходимо и достаточно .

7.Докажите справедливость равенства:

8. Проверьте правильность классификации:

натуральные числа делятся на четные, нечетные и кратные числу 3.

9.Докажите, что пересечение множеств и образует пустое множество.

10. Среди 150 школьников марки собирают только мальчики. Отечественные марки собирают 67 человек, марки Африки - 48 человек, марки Америки - 34 человека, только марки России - 11 человек, только Африки - 7, только Америки - " человека. Лишь один школьник собирает марки России, Африки и Америки. Сколько девочек среди 150 школьников?

Вариант 4.

1. Даны множества:

А = { x І x Î R, x > 13 }; В = { x І xÎ Z, x < 7 };

С = { x І xÎ N, 4 < x ≤ 12}

Изобразите их на числовой прямой и найдите А ∩ (В \ С)и В\А.

2. Даны множества:

В = ]-∞; 6 ] и П = [5; ∞ [.Найдите дополнения этих множеств до множества всех действительных чисел, пересечение первого с дополнением второго.

3. Даны множества О и Р:

Найдите О ∩ Р, О U Р, О \ Р, Р \ О, если:

а) О = [-3, ∞ [, Р =[-6, 8];

б) О = -3, ∞ [, Р =]-6, 8];

в) О = ]-3, ∞ [, Р =[-6, 8];

г) О = ]-3, ∞ [, Р =[-6, 8[.

4. Даны множества:

А= [2, 7[, В= [1, 8], С= [-1, 5[, Д= [0, 3].

Найдите: а) (А ∩ С) U (В \ Д)

б)((А ∩ Д)\С)U В

в)(А\(В U Д)) ∩ С.

5. Начертите диаграмму Эйлера -Венна, если

К ∩ М ∩ Е ¹ φ. Отметьте штриховкой множество

К U (М ∩ Е).

6.С помощью диаграммы Эйлера-Венна исследуйте вопрос о справедливости рассуждения:

Если А, В, С - подмножества множества М такие, что и , то = φ.

7.Докажите справедливость равенства:

8.Проверьте правильность классификации:

треугольники делятся на разносторонние, равнобедренные и равносторонние.

9.Докажите, что объединение множеств , , и образует универсальное множество , подмножествами которого являются и .

10. При обследовании 100 студентов были получены следующие данные о числе студентов, изучающих различные языки: только немецкий -18 человек; немецкий, но не испанский - 23; немецкий и французский - 8 человек; немецкий - 26; французский - 48; французский и испанский - 8; никакого иностранного языка - 24 человека. Сколько студентов изучают испанский язык? Сколько студентов изучают немецкий и испанский, но не французский?