Методические и учебные пособия (МП)

1. Галкин С.В. Математический анализ. Методические указания по материалам лекций для подготовки к экзамену в первом семестре. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2004. – 116 с.

2. Грибов А.Ф., Котович А.В., Минеева О.М. Кривые на плоскости, заданные параметрически и в полярной системе координат. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2004.

3. Казанджан Э.П. Исследование функций и построение графиков. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1995.

4. Ильичев А.Т., Кузнецов В.В., Фаликова И.Д. Графики элементарных функций. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2004.

5. Соболев С. К., Ильичев А.Т. Исследование и построение плоских кривых, заданных параметрически и в полярных координатах. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2004. – 80 с.

6. Казанджан Э.П., Казанджан Г.П. Вычисление пределов. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1995.

7. Введение в анализ / Под ред. Е.Е. Ивановой. – М.: МГТУ, 1990. – 85с.

8. Казанджан Г.П., Казанджан Э.П. Рабочий справочник по математике. – М.: МГТУ, 2002.

9. Михайлова Т.Ю., Поляшова Р.Г., Титов К.В. Исследование свойств функций и построение графиков. Формула Тейлора и ее приложения. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2002.

10. Казанджан Э.П. Графики. Сборник задач с примерами решений по исследованию функций и построению графиков. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2004.

11. Дуров В.В., Мастихин А.В., Савин А.С. Пределы и непрерывность функций. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2004. – 62 с.

ЛЕКЦИИ

Модуль 1. Элементарные функции и пределы

Лекция 1-2. Введение в курс. Элементы логики. Высказывания и предикаты, операции над ними. Кванторы. Построение отрицания сложного высказывания. Теорема как импликация. Необходимость и достаточность. Прямая, обратная и противоположная теоремы, связь между ними. Доказательство от противного. Метод математической индукции. Неравенство Бернулли. Бином Ньютона. Множества, операции над ними, их свойства. Множество R действительных чисел и его аксиоматика. Полнота множества R. Промежутки. Окрестности конечной точки и бесконечности. Принцип вложенных отрезков (Коши-Кантора). Ограниченные и неограниченные множества в R. Точные верхняя и нижняя грани множества. Принцип Архимеда и следствия из него.

ОЛ-1 гл. 1;

ДЛ-2 Введение.

Лекция 3. Отображение и функция. График функции. Виды отображений: сюръективное, инъективное, биективное. Обратное отображение. Понятие мощности множества. Счетные множества. Несчетность множества R. Композиция функций. Числовые функции одного действительного переменного и их свойства: ограниченность, монотонность, четность, периодичность. Основные элементарные функции и их свойства.

ОЛ-1 гл. 2, 3;

ДЛ-1 гл. I §§ 6–9;

ДЛ-2 гл. 2 § 1.

Лекция 4. Числовая последовательность, ее ограниченность и монотонность. Предел последовательности. Бесконечно малая и бесконечно большая последовательности. Свойства сходящихся последовательностей. Теорема Вейерштрасса.

ОЛ-1 пп. 6.1–6.5, 6.7;

ДЛ-2 гл. 1 § 1, § 3 (п. 34, 35).

Лекции 5. Теорема об арифметических операциях под знаком предела. Число е как предел числовой последовательности. Гиперболические функции. Предельные точки множества. Принцип Больцано-Вейерштраса. Предельные точки последовательности. Фундаментальная числовая последовательность. Критерий Коши сходимости числовой последовательности.

ОЛ-1 пп. 6.6, д.6.1, д.6.2.;

ДЛ-2 гл. 1 § 2 (п. 30), § 3 (п. 36, 37), § 4.

Лекция 6. Определение предела функции по Коши. Теорема о связи двустороннего предела с односторонними. Определение предела функции по Гейне. Эквивалентность определений предела по Гейне и Коши (без доказательства). Теорема о единственности предела функции. Теорема о локальной ограниченности функции, имеющей конечный предел.

ОЛ-1 пп. 7.1–7.4;

ДЛ-1 гл. II, §§ 2–3;

ДЛ-2 гл. 2 § 2 (п. 52–56).

Лекция 7. Бесконечно малые функции. Теорема о связи функции, ее предела и бесконечно малой. Свойства бесконечно малых функций. Теорема об арифметических операциях над функциями, имеющими предел. Теорема о пределе сложной функции (замена переменной в пределе). Теорема о знакопостоянстве функции, имеющей отличный от нуля предел. Предельный переход в неравенстве. Теорема о пределе промежуточной функции (теорема «о двух милиционерах»).

ОЛ-1 пп. 7.5–7.6;

ДЛ-1 гл. II §§ 4–5;

ДЛ-2 гл. 2 § 2 (п. 55–56).

Лекция 8. Бесконечно большие функции. Теорема о связи бесконечно больших и бесконечно малых функций. Первый замечательный предел и следствия из него. Второй замечательный предел и следствия из него. Теорема Вейерштрасса о пределе монотонной и ограниченной функции.

ОЛ-1 пп. 7.5, 7.7, 7.8;

ДЛ-1 гл. II §§ 6–7;

ДЛ-2 гл. 2 § 3 (п. 65), гл. 2 § 2 (п. 54–57).

Лекция 9. Сравнение бесконечно малых. Порядок малости, эквивалентные бесконечно малые, несравнимые бесконечно малые. Таблица эквивалентных бесконечно малых. Свойства эквивалентных бесконечно малых. Правила работы с «о малое». Сравнение бесконечно больших. Теоремы об эквивалентных бесконечно больших.

ОЛ-1 гл. 10;

ДЛ-1 гл. II § 11;

ДЛ-2 гл. 2 § 3 (п. 60–64).

Лекция 10. Непрерывность функции в точке. Различные определения непрерывности и их эквивалентность. Приращение аргумента, приращение функции. Непрерывность функции в интервале. Односторонняя непрерывность в точке. Непрерывность функции на отрезке. Свойства функций, непрерывных в точке (связь непрерывности с односторонней непрерывностью, локальная ограниченность, знакопостоянство, арифметические операции с непрерывными функциями, предельный переход, непрерывность сложной функции). Точки разрыва и их классификация.

ОЛ-1 пп. 9.1–9.3;

ДЛ-1 гл. II §§ 9–10;

ДЛ-2 гл. 2 § 4 (п. 66–70).

Лекция 11. Свойства функций, непрерывных на отрезке (теоремы о нулях, о промежуточных значениях, об ограниченности, о достижении точных граней непрерывной на отрезке функции). Непрерывность на отрезке монотонной функции, связь непрерывности, инъективности и строгой монотонности. Теорема о существовании обратной функции. Точки разрыва монотонной функции. Критерий непрерывности монотонной функции. Теорема о непрерывности обратной функции.

ОЛ-1 пп. 9.4–9.5, д.9.1, д.9.2;

ДЛ-2 гл. 2 § 5 (п. 80–85), § 4 (п. 71).

Лекция 12. Непрерывность основных элементарных функций (, , , многочлен, дробно-рациональная функция, , , , , , , , ). Равномерная непрерывность функций. Связь между равномерной непрерывностью на множестве и непрерывностью в точке этого множестве. Теорема Кантора о равномерной непрерывности функции на отрезке.

ОЛ-1 пп. 9.5, 5.9;

ДЛ-2 гл. 2 § 5 (п. 86–87), § 4 (п. 72–73).

Модуль 2. Дифференциальное исчисление функций одного переменного

Лекции 13. Производная функции в точке. Бесконечная производная. Примеры вычисления производной. Геометрический смысл производной. Связь существования наклонной касательной к графику и наличия конечной производной функции в точке. Левая и правая производные; левая и правая наклонные касательные. Нормаль к графику функции. Дифференцируемость функции в точке. Теоремы о связи дифференцируемости с существованием конечной производной и с непрерывностью. Основные правила дифференцируемости (производные сумы, разности, произведения, частного).

ОЛ-2 гл. 1, п. 2.1;

ДЛ-1 гл. III §§ 1–4, § 7;

ДЛ-2 гл. 3 § 1 (п. 90–93, 96–97, 100–101), § 2 (п. 103–104).

Лекции 14. Теоремы о дифференцируемости обратной и сложной функций. Производные основных элементарных функций. Логарифмическая производная и производная показательно-степенной функции. Производные функций, заданных параметрически и неявно. Производные высших порядков. Вычисление производных высших порядков для функций , , , , . Формула Лейбница для вычисления производной произведения.

ОЛ-2 пп. 2.2–2.6; 4.1–4.4;

ДЛ-1 гл. III §§ 5–6, §§ 8–15, §§ 18–19, § 22;

ДЛ-2 гл. 3 § 1 (п. 94–95, 98–99), § 4 (п. 115–118).

Лекции 15. Дифференциал функции. Теорема о связи производной и дифференциала. Геометрический смысл дифференциала. Правила работы с дифференциалами (дифференциал суммы, разности, произведения, частного). Инвариантность формы записи первого дифференциала. Приближенные вычисления с помощью дифференциалов. Дифференциалы высших порядков, отсутствие инвариантности.

ОЛ-2 гл. 3, п. 4.5;

ДЛ-1 гл. III §§ 20–21, § 23;

ДЛ-2 гл. 3 § 2, § 4 (п. 119-120).

Лекции 16. Основные теоремы дифференциального исчисления (Ферма, Ролля, Коши, Лагранжа) и их геометрический смысл. Теорема Бернулли-Лопиталя и раскрытие неопределенности типа [0/0]. Теорема Бернулли-Лопиталя и раскрытие неопределенности типа [ / ] (без доказательства). Сравнение порядков роста логарифмической, степенной и показательной функций на бесконечности. Раскрытие неопределенностей типа [ ], [ ], [ ], [ ], [ ].

ОЛ-2 гл. 5, гл. 6;

ДЛ-1 гл. IV §§ 1–5;

ДЛ-2 гл. 3 § 3, гл. 4 § 4.

Лекция 17. Формула Тейлора для многочленов. Многочлен Тейлора для произвольных функций. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано. Теорема о единственности разложения функции по формуле Тейлора с остаточным членом в форме Пеано. Формула Тейлора с остаточным членом в общем виде. Следствия: остаточный член в форме Коши и в форме Лагранжа. Формула Маклорена.

ОЛ-2 пп. 7.1–7.3;

ДЛ-1 гл. IV § 6;

ДЛ-2 гл. 3 § 5 (п. 123, 124, 126).

Лекция 18. Разложение элементарных функций по формуле Маклорена (, , , , ). Использование разложений для вычисления пределов и в приближенных вычислениях. Применение дифференциального исчисления для исследования функций и построения их графиков. Связь производной и монотонности. Необходимые и достаточные условия монотонности. Локальный экстремум функции. Необходимое условие локального экстремума дифференцируемой функции.

ОЛ-2 пп. 7.4, 7.5, д.7.1, 8.1, 8.2;

ДЛ-1 гл. IV § 7, гл. V §§ 2–3;

ДЛ-2 гл. 3 § 5 (п. 125, 127), гл. 4 § 1 (п. 131, 132, 134).

Лекция 19. Достаточные условия существования экстремума по первой производной, по второй производной, по n -ой производной. Понятие о выпуклости вверх (вниз) функции. Геометрический смысл определения выпуклости функции – взаимное расположение графика функции и хорды. Лемма о выпуклости функции и ее геометрический смысл.

ОЛ-2 пп.8.3, 8.4;

ДЛ-1 гл. V §§ 3–5, 8–9;

ДЛ-2 гл. 4 § 1 (п. 135–138), § 2 (п. 141–143).

Лекция 20. Необходимое и достаточное условие выпуклости по первой производной. Необходимое и достаточное условие выпуклости дважды дифференцируемой функции, достаточное условие строгой выпуклости дважды дифференцируемой функции. Связь направления выпуклости графика функции с положением касательной. Точки перегиба графика функции. Необходимое и достаточное условия существования точки перегиба. Асимптоты графика функции: вертикальные, горизонтальные, наклонные. Теорема о наклонной асимптоте. Общая схема исследования функций и построения их графиков.

ОЛ-2 пп.8.4, 8.5, 8.7, 8.8;

ДЛ-1 гл. V §§ 9–11;

ДЛ-2 гл. 4 § 2 (п. 143, 145), § 2.

Лекции 21. Векторная функция скалярного аргумента. Геометрическая интерпретация. Годограф вектор-функции. Способы задания кривой в пространстве: векторное уравнение, параметрическое уравнение, пересечение двух поверхностей. Предел вектор-функции и его связь с пределами координатных функций. Правила вычисления пределов вектор-функций. Непрерывность вектор-функции. Теорема о связи непрерывности вектор-функции и непрерывности координатных функций (без доказательства).

ОЛ-2 п. 9.1;

ДЛ-1 гл IX, §§ 1–2.

Лекция 22. Производная вектор-функции скалярного аргумента. Теорема о связи производной вектор-функции и производных координатных функций. Геометрический смысл производной вектор-функции. Правила вычисления производных. Дифференцируемость вектор-функции. Связь дифференцируемости и наличия конечной производной. Дифференциал вектор-функции.

ОЛ-2 п. 9.2;

ДЛ-1 гл IX, §§ 2–3.

Лекция 23. Простейшие численные методы решения уравнений вида . Нули многочленов и точные решения алгебраических уравнений. Локализация и уточнение корней. Деление отрезка пополам, введение в итерационные методы, метод Ньютона.

ОЛ-2 гл.11;

Лекция 24. Обзорная. Резерв.