Типовые задачи, используемые при формировании

вариантов текущего контроля

1. Домашнее задание №1. «Векторная алгебра и аналитическая геометрия»

Дано: точки , , , ; числа , ; угол .

Задание:

Часть 1:

1. Найти длину вектора , если , и , — единичные векторы, угол между которыми равен .

2. Найти координаты точки М, делящей вектор в отношении .

3. Проверить, можно ли на векторах и построить параллелограмм. Если да, то найти длины сторон параллелограмма.

4. Найти углы между диагоналями параллелограмма ABCD.

5. Найти площадь параллелограмма ABCD.

6. Убедиться, что на векторах , , можно построить параллелепипед. Найти объем этого параллелепипеда и длину его высоты.

7. Найти координаты вектора , направленного по высоте параллелепипеда , проведенной из точки A к плоскости основания , координаты точки H и координаты единичного вектора, совпадающего по направлению с вектором .

8. Найти разложение вектора по векторам , , .

9. Найти проекцию вектора на вектор .

Часть 2:

10. Написать уравнения плоскостей:

а) P, проходящей через точки A, B, D;

б) P₁, проходящей через точку A и прямую A₁B₁;

в) P₂, проходящей через точку A₁ параллельно плоскости P;

г) P₃, содержащей прямые AD и AA₁;

д) P₄, проходящей через точки A и C₁, перпендикулярно плоскости P.

11. Найти расстояние между прямыми, на которых лежат ребра AB и CC₁; написать канонические и параметрические уравнения общего к ним перпендикуляра.

12. Найти точку A₂, симметричную точке A₁ относительно плоскости основания ABCD.

13. Найти угол между прямой, на которой лежит диагональ A₁C, и плоскостью основания ABCD.

14. Найти острый угол между плоскостями ABC₁D (плоскость P) и ABB₁A₁ (плоскость P₁).

2. Домашнее задание №2. «Кривые и поверхности второго порядка»

В задачах 1–2 заданное уравнение линии второго порядка привести к каноническому виду и построить кривую в системе координат OXY.

В задаче 3 по приведенным данным найти уравнение кривой в системе координат OXY.

Для задач 1–3 указать:

1) канонический вид уравнения линии;

2) преобразование параллельного переноса, приводящее к каноническому виду;

3) в случае эллипса: полуоси, эксцентриситет, центр, вершины, фокусы, расстояния от точки C до фокусов; в случае гиперболы: полуоси, эксцентриситет, центр, вершины, фокусы, расстояния от точки C до фокусов, уравнения асимптот; в случае параболы: параметр, вершину, фокус, уравнение директрисы, расстояния от точки C до фокуса и директрисы;

4) для точки C проверить свойство, характеризующее данный тип кривых как геометрическое место точек.

В задаче 4 указать преобразование параллельного переноса, приводящее данное уравнение поверхности к каноническому виду, канонический вид уравнения поверхности и тип поверхности. Построить поверхность в канонической системе координат OXYZ.

1) , ; 2) , .

3) Парабола симметрична относительно прямой , имеет фокус , пересекает ось OX в точке , а ее ветви лежат в полуплоскости .

4) .

Контроль по модулю №1 “Векторная алгебра. Аналитическая геометрия”

1. Правые и левые тройки векторов. Определение векторного произведения векторов. Сформулировать свойства векторного произведения векторов. Вывести формулу вычисления векторного произведения двух векторов, заданных своими координатами в ортонормированном базисе.

2. Найти угол между векторами если

3. Найти, если это возможно, разложение вектора по векторам и

4. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки , и перпендикулярной плоскости Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку и ортогональной к найденной плоскости.

Контрольная работа «Кривые и поверхности второго порядка»

1. Определение эллипса как геометрического места точек. Вывод канонического уравнения эллипса в прямоугольной декартовой системе координат. Основные параметры кривой.

2. Уравнение поверхности привести к каноническому виду. Сделать рисунок в канонической системе координат. Указать название данной поверхности.

3.Составить уравнение равноосной гиперболы, если известны ее центр и один их фокусов . Сделать рисунок.

Контроль по модулю №2 «Кривые и поверхности второго порядка. Матрицы и системы линейных алгебраических уравнений»

1. Однородные системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Формы записи однородной СЛАУ. Доказательство критерия существования ненулевых решений однородной СЛАУ.

2.Решить матричное уравнение , где

, .

Сделать проверку.

3. Вычислить определитель матрицы . Найти обратную матрицу к .

.

4. Решить СЛАУ. Найти нормальную фундаментальную систему решений соответствующей однородной системы, частное решение неоднородной системы; записать через них общее решение данной неоднородной системы:

Вопросы для подготовки к контролям по модулям, контрольной работе, зачету и экзамену