Умовний екстремум. Ф-ція має екстремуми в т

Екстремуми.

Ф-ція має екстремуми в т. М₀ (х₀; у₀), якщо існує такий окіл цієї т., що для всіх точок М(х; у) з цього околу виконується нерівність f(x₀; y₀) > f(x; y). Точки, в яких частинні похідні І порядку =0 або не існують називаються критичними.

6) Необхідна і достатня умови існування екстремуму.

В т. екстремуму ф-ції її частинна похідна = 0 або не існує Þ в т. екстремуму диференційованої ф-ції виконується нерівність:

df/dx=0 і df/dy=0.

Достатня: AC – B2< 0 – НЕ ІСНУЄ АС – В2=0 –?

Необхідна:

A=¶²z/¶x² (M₀)

C=¶²z/¶y² (M₀)

B=¶²z/¶x¶y (M₀)

Умовний екстремум.

Рівняння j(х; у) назив рівнянням зв’язку, т. (х₀; у₀) є Е назив т. Умовного строгого максимуму ф-ції u=f(x; y). Відносно рівн зв’язку, якщо існує такий окіл т. (х₀; у₀), для всіх точок якого (х; у) ¹ (х₀; у₀), що задовольняють рівняння зв’язку, вірна нерівність: f(x; y) £ f(x₀; y₀).

z = f(x; y) j(x; y) = 0

F(x, y, l) = f(x; y) + l(x; y)

8) Однорідні диференційні рівняння І порядку.

Означення: Д.Р. називається однорідним, якщо його можна подати у вигляді:

Воно за допомогою заміни змінної y/x=u Þ y=ux зводиться до Д.Р. з відокремлюваними змінними.

та знаходження розв’язку зводиться до квадратур:

9) Лінійні диференційні рівняння І порядку.

Означення: Д.Р. виду y’+P(x)y=Q(x) називається лінійним Д.Р. Якщо Q(x)¹ 0, то Д.Р. є однорідним, якщо Q(x)º 0, то неоднорідним.

Рішення лінійного Д.Р. І порядку:

y'+P(x)y=Q(x)

y=uv

y’=u’v+v’u

u’v+v’u+P(x)uv=Q(x)

u’v+u(v’+P(x)v)=Q(x)

v’+P(x)v=0

u’v=Q(x)

10) Лінійні Д.Р. ІІ порядку з сталими коефіцієнтами.

В загальному випадку Д.Р. ІІ порядку має вигляд F(x, y, y’, y’’)=0. Загальний розв’язок рівняння містить 2 довільні сталі y=j(x, C₁, C₂) і за рахунок вибору C₁ і С₂ можна розв’язати задачу Коші, яка полягає в пошуку частинного розв’язку y=y(x), що задовольняє початковій умові y(x₀)=y₀, y’(x₀)=y₀’.

11) Однорідні Д.Р. ІІ порядку з сталими коефіцієнтами

Означення: Рівняння вигляду y’’+a₁y’+a₂y=0 називаються однорідними лінійними Д.Р.

Розв’язок:

y’’+a₁y’+a₂y=0

Складаємо характеристичне рівняння:

K²+a₁K+a₂=0

А) D> 0

Б) D=0, K1, 2= –b/2

В) D< 0, K1, 2 – комплексні числа. K1, 2=X±bI

Зі спеціальною правою частиною.

12) Числові ряди.

Означення: числовим рядом є вираз, який має вигляд суми нескінченої послідовності доданків: U₁+U₂+U₃+…+U_n+…(1), де U₁ – перший член ряду, U₂ – другий, а U_n – n-член, або загальний член ряду.

Утворимо так звані часткові суми ряду:

S₁=U₁

S₂=U₁+U₂

…………………………

S_n=U₁+U₂+U₃+…+U_n+...

Означення: Ряд (1) називають збіжним, якщо:

тобто сума існує. Ряд (1) коротко можна записати:

Якщо ряд (1) збіжний, то пишуть:

Означення: якщо:

то ряд (1) називають розбіжним рядом, такий ряд суми не має. Різницю між сумою S ряду і n-початковою сумою називають залишком ряду і позначають:

Rn=S-Sn. Якщо ряд збіжний, то:

13) Необхідна ознака збіжності.

Теорема: Якщо ряд

збіжний, то:

Доведення: Оскільки ряд збіжний, то:

поряд з цією рівністю для збіжного ряду можна записати:

Ця ознака є лише необхідною умовою збіжності. Якщо вона не виконується, то ряд розбіжний, якщо виконується, то ряд може бути як збіжним, так і розбіжним.

14)Достатня ознака збіжності для знакододатних рядів.

(Ознака порівняння рядів; ознака Даламбера; радикальна ознака Коші; інтегральна ознака Коші)

Означення: знакододатний ряд – ряд вигляду U₁+U₂+…+U_n+…, всі члени якого є додатними.

1) Ознака порівняння рядів.

Складаємо геометричний прогресію або гармонійний ряд і порівнюємо. Якщо порівняємо з розбіжним рядом, всі члени якого менше відповідних членів шуканого ряду, то шуканий ряд – теж розбіжний, якщо більшіші, то шуканий ряд – збіжний. Якщо порівнюємо із збіжним рядом, всі члени якого більше відповідних членів шуканого ряду, то шуканий ряд – теж збіжний, якщо менші, то шуканий ряд є розбіжним.

Гармонійний ряд – ряд вигляду:

2) Ознака Даламбера:

Якщо для знакододатного ряду

існує

то, якщо:

а)D> 1, ряд – розбіжний

б)D< 1, ряд – збіжний

в)D=1, –???

3) Радикальна ознака Коші.

а)k< 1, ряд – збіжний

б)k> 1, ряд – розбіжний

в)k=1, –???

4) Інтегральна ознака Коші.

Беремо ò від Un-члена ряду. Якщо невласний інтеграл збіжний, то ряд – збіжний, якщо ж розбіжний, то ряд – розбіжний.

15) Знакопочергові ряди. Ознака Лейбніца.

Означення: Знакопочерговий ряд – ряд вигляду:

Для дослідження знакопочергового ряду на абсолютну і умовну збіжність складається ряд з абсолютних величин.

Означення: Знакозмінний ряд називається абсолютно збіжним, якщо збігається ряд із абсолютних величин членів знакозмінного ряду.

Означення: Знакозмінний ряд називається умовно збіжним, якщо цей ряд збігається, а ряд із абсолютних величин його членів розбігається.

Ознака Лейбніца.

Теорема: Якщо члени знакопочергового ряду спадають по абсолютній величині і границя абсолютної величини загального члена ряду = 0, то ряд збігається. Коротко цю теорему можна записати так:

Наслідок1:

Знак суми збіжного знакопочергового ряду такий же, як і знак першого члену ряду.

Наслідок2:

Якщо знакопочерговий ряд збігається, то його сума за абсолютною величиною не перевищує перший член ряду, тобто |S|< |U₁|.

Наслідок3:

Якщо при обчисленні суми збіжного знакопочергового ряду обмежитись тільки першими n членами, а всі інші відкинути, то похибка за абсолютною величиною не перевищить першого із відкинутих членів.

Наслідок4:

Якщо для ряду не виконується умова теореми Лейбніца:

то ряд є розбіжним, оскільки не виконується необхідна умова збіжності.

16) Функціональні ряди. Область збіжності ряду. Степеневі ряди. Теорема Абеля. Інтервал і радіус збіжності степеневого ряду.

Означення: Ряд вигляду U₁(x)+U₂(x)+…+U_n(x)+…, де членами рядуU_n(x) є ф-ції від аргументу х, називається функціональним рядом. При х=х₀ функціональний ряд перетворюється на на числовий ряд.

Означення: Всі значення аргументу х, при яких функціональний ряд збігається, називаються областю збіжності функціонального ряду.

Степеневі ряди:

Означення: Функціональний ряд вигляду a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ+… називається степеневим рядом, його загальний член U_n(x)=a_nxⁿ, а числа а₀, а₁, а_2, ..., а_n,... – називають коефіцієнтами степеневого ряду. Степеневий ряд можна записати як:

Степеневий ряд може мати вигляд: a₀+a₁₍x-с)+a₂₍x-с)²+…+a_n(x-с)ⁿ+… Такий ряд за допомогою заміни х-с=у зводиться до звичайного степеневого ряду.