Теорема Абеля.

Якщо степеневий ряд:

1) якщо при х=х₀, то він абсолютно збігається для будь-якого х, що задовольняє нерівність |x|< |x₀|;

2) якщо ряд розбігається при х=х₁, то він розбігається при всіх х, що задовольняють нерівніст |x|> |x₁|.

Інтервал і радіус збіжності степеневого ряду.

Як наслідок із теореми Абеля для Степ. Р. існує інтервал збіжності з центром в точці х₀.

Означення: Інтервалом збіжності Степ. Ряду називається такий інтервал, у всіх внутрішніх точках якого ряд збігається абсолютно, а для всіх точок |x|> R ряд є розбіжним, при цьому число R> 0 називається радіусом збіжності ряду.

Зауваження:

На кінцях інтервалу збіжності, тобто в точках x=-R, x=R ряд може як збігатись, так і розбігатись. Це питання потребує спеціального дослілження в кожному випадку.

17) Лінійні різницеві рівняння зі сталими коефіцієнтами.

Лінійні різницеві рівняння n-го порядку - рівняння виду (k=0, 1,...). Число n називається порядком різницевого рівняння. Якщо то різницеве рівняння називається однорідним, якщо то рівняння називається неоднорідним.

Для однозначного визначення розв'язків різницевих рівнянь достатньо задати початкові умови: (k=0, 1,..., n-1).

Розв'язком різницевого рівняння називається послідовність y_k (k=0, 1, 2,...), яка при підставлянні її в різицеве рівняння перетворює його на тотожність. Для того, щоб розв'язати різницеве рівняння потрібно записати мультиплікаторне рівняння і знайти його корені. Загальний розв'язок однорідного різницевого рівняння: y_k=C₁y_{k, 1}+ C₂y_{k, 2}, якщо воно має два корені. І y_k=C₁y_{k, 1}, якщо один корінь. Якщо мультиплікаторне рівняння має однакові корені, то розв'язок подається в такому вигляді: y_k= (k=0, 1, 2,...).

Загальний розв'язок неоднорідного різницевого рівняння є сумою частинного розв'язку неоднорідного різницевого рівняння на загального розв'язку однорідного різницевого рівняння.

18) Диференціальні рівняння з відокремленими змінними

Якщо в диференціальному рівнянні першого порядку (праву частину можна подати у вигляді то (за умови, що ) це рівняння можна записати так: . Розглядаючи цю рівність як рівність двох диференціалів та інтегруючи зліва за у, а справа за х, отримаємо Це співвідношення є загальним інтегралом рівняння. Диференціальне рівняння такого виду називається диференціальним рівнянням з відокремленими змінними.

19) Диференціальні рівняння з відокремлюваними змінними

Диференціальне рівняння вигляду (12.4) називається рівнянням з відокремлюваними змінними. Справді, якщо , то змінні відокремлюються діленням обох частин рівняння (12.4) на . Маємо

і, отже, загальний інтеграл рівняння має вигляд .

20) Ряд Тейлора і Маклорена

Рядом Тейлора для функції при умові, що вона визначена в околі точки , а також має в ній скінченні похідні будь-якого порядку називається ряд вигляду

При формула Тейлора перетворюється в ряд Маклорена:

21) Ряд геометричної прогресії

Ряд, що складений з елементів геометричної прогресії називається геометричним рядом: Число — знаменник геометричної прогресії.

Позначимо сума перших членів прогресії та знайдемо її значення: Звідси отримуємо Якщо , то геометричний ряд збігається. Якщо , то Якщо , то Якщо , то таким чином, послідовність - розбіжна.