Приближенное решение обыкновенных дифференциальных уравнений

Требуется найти на отрезке решение обыкновенного дифференциального уравнения при заданном начальном условии Решением дифференциального уравнения называется такая дифференцируемая функция, которая при подстановке в уравнение обращает его в верное равенство. Рассмотрим численные методы решения данной задачи.

Разобьем отрезок на равных частей точками

Метод Эйлера. Решение обыкновенного дифференциального уравнения при заданном начальном условии можно определить по итерационной формуле Эйлера:

Геометрический смысл метода Эйлера заключается в аппроксимации решения отрезком касательной приведенной к графику в левой точке отрезка. Затем строится касательная к кривой в правой точке отрезка и переносится параллельно до совмещения с концом касательной, построенной на предыдущей итерации и т.д. Полученная ломаная и есть приближенное решение.

На практике при решении дифференциального уравнения численными методами часто требуется обеспечить точность вычисления

Для оценки точности выполняют два расчета с числом разбиений и Вычисления заканчиваются, если при невыполнении неравенства число разбиений удваивается и вновь производится сравнение результатов.

Пример 1: Найти решение дифференциального уравнения на отрезке при начальном условии используя метод Эйлера. Обеспечить точность вычисления

Рис. 36. Численное решение дифференциального уравнения методом Эйлера

Вводим отрезок , начальное условие (С2), (D2), (E2)(рис. 36).

Вычисляем блок А5: А15 самостоятельно. Для заполнения ячейки В5 используется формула =C2. Для заполнения ячейки В6 используется формула =B5+$E$2*(2*A5^3-B5^2), далее она протягивается вниз и заполняем весь столбец В.

Выполняем решение дифференциального уравнения методом Эйлера при

Исправленный метод Эйлера. Решение обыкновенного дифференциального уравнения при заданном начальном условии можно определить по итерационной формуле исправленного метода Эйлера:

Геометрический смысл исправленного метода Эйлера заключается в следующем. Строится касательная к графику в левой точке отрезка. Затем строится касательная в правой точке отрезка. Находится средняя линия и переносится в левый конец отрезка. Правая точка касательной будет являться следующим приближением.

Пример2: Найти решение дифференциального уравнения на отрезке при начальном условии используя исправленный метод Эйлера. Обеспечить точность вычисления

Вводим отрезок , начальное условие (С2), (D2), (E2)(рис. 37).

Вычисляем блок А5: А15 самостоятельно.

Для заполнения ячейки В5 используется формула =C2. Для заполнения ячейки С5 используется формула =2*A5^3-B5^2. Далее заполняем ячейки D5: F5 по формулам (рис. 37).

Для заполнения ячейки В6 используется формула=B5+$E$2*(C5+F5)/2.Далее она протягивается вниз и заполняет весь столбец В, также протягиваем остальные столбцы.

Выполняем решение дифференциального уравнения исправленным методом Эйлера при

Установить, обеспечена ли требуемая точность.

Рис. 37. Численное решение дифференциального уравнения исправленным методом Эйлера

Метод Рунге-Кутта. Данный метод используется чаще остальных при решении практических задач.

Решение обыкновенного дифференциального уравнения при заданном начальном условии можно определить по итерационной формуле:

где

Пример 3: Найти решение дифференциального уравнения на отрезке при начальном условии используя метод Рунге-Кутта. Обеспечить точность вычисления

Вводим отрезок , начальное условие (С2), (D2), (E2)(рис. 38).

Вычисляем блок А5: А15 самостоятельно.

Для заполнения ячейки В5 используется формула =C2. Для заполнения ячейки С5 используется формула =2*A5^3-B5^2. Далее заполняем ячейки D5: K5 по формулам (см. рис. 38). Обращаем внимание, что ссылки на значение должны быть абсолютными.

Для заполнения ячейки В6 используется формула=B5+$E$2*(C5+2*F5+2*H5+K5)/6.Далее она протягивается вниз и заполняет весь столбец В, также протягиваем остальные столбцы справа.

Рис. 38. Численное решение дифференциального уравнения методом Рунге-Кутта

Выполняем решение дифференциального уравнения методом Рунге-Кутта при

Установить, обеспечена ли требуемая точность.

Задания для самостоятельного выполнения.

Из таблицы 6 приложения взять исходные данные своего варианта. Вариант определяется по порядковому номеру в списке группы. Выполнить численное решение дифференциального уравнения методом Эйлера, исправленным методом Эйлера и методом Рунге-Кутта. Обеспечить точность вычисления

Контрольные вопросы

1. Итерационная формула метода Эйлера и его геометрический смысл.

2. Погрешность формул численного решения дифференциальных уравнений.

3. Итерационная формула исправленного метода Эйлера и его геометрический смысл.

4. Итерационная формула метода Рунге-Кутта.