Производная неявной функции. Стр 28.

Стр 26(методичка).

31. производные тригонометрических функций.32.(обратные)

33. Производная логарифмической функции y = log _a x определяется выражением Для натурального логарифма y = ln x производная равна

34. производная сложной функции. где u = g(x) - внутренняя функция, являющаяся, в свою очередь, аргументом для внешней функции f.
Если f и g - дифференцируемые функции, то сложная функция также дифференцируема по x и ее производная равна стр 27.

35.Производная степенной функции. Если f(x) = x^p, где p - действительное число, то Если показатель степени является отрицательным числом, т.е. f(x) = x^{− p}, то

производная неявной функции. Стр 28.

37. производная высших порядков. Пусть y = f(x) является дифференцируемой функцией. Тогда производная также представляет собой функцию от x. Если она является дифференцируемой функцией, то мы можем найти вторую производную функции f, которая обозначается в виде Аналогично, если f '' существует и дифференцируема, мы можем вычислить третью производную функции f: Производные более высокого порядка (если они существуют), определяются как Для нахождения производных высшего порядка можно использовать следующие формулы:

В частности, для производной второго и третьего порядка формула Лейбница принимает вид

38.Дифференциал функции. Его геом. смысл. Дифференциалом функции называется линейная относительно часть приращения функции. Она обозначается как или. Таким образом: Геометрический смысл: На графике функции возьмем произвольную точку и дадим аргументу приращение . При этом функция получит приращение (на рисунке отрезок ).Проведем касательную к кривой в точке и обозначим угол ее наклона коси через , тогда Из треугольника находим , т.е. .

39. приложение дифференциала к приближенным вычислениям. Приращение функции представимо в виде: гдефункция является б.м. функцией при стремлении аргумента к нулю. Так как , то В силу того, что второе слагаемое является бесконечно малым, то им можно пренебречь, а поэтому А так как в нахождении дифференциал значительно проще, чем приращение функции, то данная формула активно используется на практике. Для приближенного вычисления значения функции применяется следующая формула: