Теорема Лагранжа. (О конечных приращениях)

Пусть функция

1. непрерывна на отрезке ;

2. дифференцируема на интервале

Тогда на интервале найдется по крайней мере одна точка , такая, что

Теорема Ролля есть частный случай теоремы Лагранжа, когда . Следствие. (Геометрический смысл теоремы Лагранжа.)На кривой между точками и найдется точка , такая, что через эту точку можно провести касательную, параллельную хорде (рис. 1).

Доказанная формула называется формулой Лагранжа или формулой конечных приращений. Она может быть переписана в виде:

41.Теорема Ролля. (О нуле производной функции, принимающей на концах отрезка равные значения)

Пусть функция

1. непрерывна на отрезке ;

2. дифференцируема на интервале ;

3. на концах отрезка принимает равные значения .

Тогда на интервале найдется, по крайней мере, одна точка , в которой . Следствие. Найдется хотя бы одна точка, в которой касательная к графику функции будет параллельна оси абсцисс. Следствие. Если , то теорему Ролля можно сформулировать следующим образом: между двумя последовательными нулями дифференцируемой функции имеется, хотя бы один, нуль производной.