Второй закон Ньютона

Второй закон Ньютона — дифференциальный закон движения, описывающий взаимосвязь между приложенной к материальной точке силой и получающимся от этогоускорением этой точки. Фактически, второй закон Ньютона вводит массу как меру проявления инертности материальной точки в выбранной инерциальной системе отсчёта (ИСО).

Масса материальной точки при этом полагается величиной постоянной во времени и независящей от каких-либо особенностей её движения и взаимодействия с другими телами[4][5][6][7].

Современная формулировка

В инерциальной системе отсчёта ускорение, которое получает материальная точка с постоянной массой, прямо пропорционально равнодействующей всех приложенных к ней сил и обратно пропорционально её массе.

При подходящем выборе единиц измерения, этот закон можно записать в виде формулы:

где — ускорение материальной точки;
— равнодействующая всех сил, приложенных к материальной точке;
— масса материальной точки.

Второй закон Ньютона может быть также сформулирован в эквивалентной форме с использованием понятия импульс:

В инерциальной системе отсчета скорость изменения импульса материальной точки равна равнодействующей всех приложенных к ней внешних сил.

где — импульс точки, — её скорость, а — время. При такой формулировке, как и при предшествующей, полагают, что масса материальной точки неизменна во времени[8][9][10].

Иногда предпринимаются попытки распространить сферу применения уравнения и на случай тел переменной массы. Однако, вместе с таким расширительным толкованием уравнения приходится существенным образом модифицировать принятые ранее определения и изменять смысл таких фундаментальных понятий, как материальная точка, импульс и сила[11][12].

Замечания[править | править вики-текст]

Когда на материальную точку действуют несколько сил, с учётом принципа суперпозиции, второй закон Ньютона записывается в виде:

или,

Второй закон Ньютона, как и вся классическая механика, действителен только для движения тел со скоростями, много меньшими скорости света. При движении тел со скоростями, близкими к скорости света, используется релятивистское обобщение второго закона, получаемое в рамках специальной теории относительности.

Следует учитывать, что нельзя рассматривать частный случай (при ) второго закона как эквивалент первого, так как первый закон постулирует существование ИСО, а второй формулируется уже в ИСО.

Историческая формулировка

Исходная формулировка Ньютона:

Изменение количества движения пропорционально приложенной движущей силе и происходит по направлению той прямой, по которой эта сила действует.

Интересно, что если добавить требование инерциальности для системы отсчёта, то в такой формулировке этот закон справедлив даже в релятивистской механике.

10. Работа силы

Если изменение количества движения связано с главным вектором приложенных сил, а изменениекинетического момента — с главным моментом этих сил, то изменение кинетической энергии определяется величиной работы, совершенной приложенными силами.

Рис. 38.

Первоначальное понятие работы относится к случаю прямолинейного движения и постоянной силы, действующей в направлении перемещения (рис. 38). В этом случае работой силы называется величина

где F — модуль силы, s — величина перемещения точки приложения силы. Знак плюс берется, если направление силы совпадает с направлением перемещения, знак минус — если эти направления противоположны.

Для постоянной силы, составляющей некоторый угол 1 с направлением перемещения (рис. 39), работа определяется как произведение перемещения на проекцию силы на направление перемещения:

Знак плюс или минус определяется знаком 2. Если (сила направлена под острым углом к направлению перемещения), то работа положительна; если (сила направлена под тупым углом к направлению перемещения), — работа отрицательна.

При (сила перпендикулярна направлению перемещения) работа равна нулю.

Так как, то эту формулу можно представить в виде скалярного произведения вектора силы и вектора перемещения точки приложения силы:

Дальнейшее обобщение понятия работы связано с рассмотрением общего случая, когда сила переменна, а точка приложения силы движется по криволинейной траектории. В этом случае формулу непосредственно применить нельзя. Однако это можно сделать, если рассматривать работу на малых участках траектории, близких к прямолинейным отрезкам, вдоль которых можно пренебречь изменением направления и модуля силы.

Разбивая криволинейный путь точки приложения силы на множество малых участков (рис. 40) и определяя работу на каждом участке по приведенной формуле, путем суммирования находим

Это — приближенное выражение работы переменной силы F на участке траектории Точное значение работы получаем, переходя в этой формуле к пределу при неограниченном увеличении числа участков разбиения. В итоге приходим к общей формуле для вычисления работы в виде криволинейного интеграла

Выражение под знаком интеграла

называется элементарной работой силы. (Обозначение (а не) обусловлено тем, что соответствующий дифференциальный трехчлен может и не быть полным дифференциалом.) В отличие от элементарной работыинтеграл от нее называется полной работой.

В технике весьма употребительно понятие мощности, т.е. работы, совершаемой в единицу времени. Для определения мощности источника силы имеем:

13. Градиент потенциальной энергии.

Градиент — вектор, показывающий направление наискорейшего возрастания некоторой величины , значение которой меняется от одной точки пространства к другой (скалярного поля).

Градиент потенциальной энергии – первая производная потенциальной энергии молекулярной системы по ядерным координатам. Точки ППЭ, в которых градиент энергии равен нулю, отвечают глобальному или локальному минимуму или переходному состоянию конфигурации молекулярной системы.

Каждой точке потенциального поля соответствует, с одной стороны, некоторое значение вектора силы F, действующей на тело, и, с другой стороны, некоторое значение потенциальной энергии Wп. Следовательно, между силой и потенциальной энергией должна существовать определенная связь.

Дальше много вычислений, в конце получаем:

Эта формула определяет проекции вектора силы на координатные оси. Если известны эти проекции, оказывается определенным и сам вектор силы:

=

Сила равна градиенту потенциальной энергии, взятого с обратным знаком:

=

Причиной движения материальной частицы является потенциальное поле, то мы вынуждены признать, что под воздействием этого поля частица должна двигаться ускоренно.

16. Закон изменения момента импульса.

Рассмотрим произвольную систему тел. Моментом импульса системы назовем величину L, равную векторной сумме моментов импульсов отдельных ее частей Li, взятых относительно одной и той же точки выбранной системы отсчета.

L = Σ Li.

Найдем скорость изменения момента импульса системы. Проведя рассуждения, аналогичные описанию вращательного движения твердого тела, получим, что

скорость изменения момента импульса системы равна векторной сумме моментов внешних сил M, действующих на части этой системы.

dL/dt = M.

Причем вектора L и M задаются относительно одной и той же точки O в выбранной СО. Уравнение (21) представляет собой закон изменения момента импульса системы.

Причиной изменения момента импульса является действующий на систему результирующий момент внешних сил. Изменение момента импульса за конечный промежуток времени можно найти, воспользовавшись выражением

.

Приращение момента импульса системы равно импульсу результирующего момента внешних сил, действующих на нее.

В неинерциальной системе к моменту внешних сил необходимо прибавить момент сил инерции относительно выбранной точки O.