Законы сохранения

Законы сохранения позволяют быстро и компактно получать соотношения между основными параметрами и переменными задачи. В частности, с их помощью можно записать векторно-матричные уравнения баланса между вероятностями микросостояний систем обслуживания, марковизированных методом фиктивных фаз.

Обозначим через S _j множество всех возможных микросостояний системы, при которых на обслуживании находится ровно j заявок, а через – количество элементов в S _j. Далее в соответствии с диаграммой переходов для выбранной модели построим матрицы интенсивностей элементарных переходов:

– в (прибытие заявки),

– в (конец промежуточной фазы обслуживания),

– в (полное завершение обслуживания заявки),

– в (уход из состояний яруса )

(в квадратных скобках указан размер матриц).

Введем векторы-строки нахождения системы в микросостояниях (j, i), Теперь можно записать векторно-матричные уравнения баланса переходов между состояниями

Необходимые матрицы интенсивностей переходов между микросостояниями смежных ярусов можно построить автоматически – сопоставлением «ключей», задающих расстановку заявок по фазам обслуживания и/или прибытия для исходного и конечного микросостояний, в соответствии с типом перехода.

Полученные уравнения могут быть решены итерационным методом Такахаси – Таками или более быстрым, но менее универсальным методом матрично-геометрической прогрессии. По найденным вероятностям с помощью закона сохранения стационарной очереди можно рассчитать моменты распределения времени ожидания. Далее при необходимости выполняется их свертка в моментах с распределением чистой длительности обслуживания. По результирующим моментам строится ДФР длительности пребывания в системе.