Узловых потенциалов

При расчете линейной электрической цепи методом узловых потенциалов, необходимо решить следующее матричное уравнение:

G _у φ _у = J _у,

где G _у – матрица узловых проводимостей; φ _у = (φ ₁ φ ₂ … φ _n) – матрица узловых потенциалов; J _у – матрица узловых токов.

Матрица узловых проводимостей составляется следующим образом:

где g₁₁, g₂₂, g_nn – суммарные проводимости 1-го, 2-го и n-го узлов; g₂₁ = g₁₂ – проводимость ветви между первым и вторым узлами, взятая со знаком «–»; g_kn = g_nk – проводимость ветви между узлом n и узлом k, взятая со знаком «–» (если между узлами нет прямой связи, проводимость берется равной 0).

Матрица узловых токов определяется следующим образом:

J _у = (J_у1 J_у2 … J_уk)

где – суммарный ток первого узла; k – количество узлов в схеме; n – номер узла; i – номер входящей в узел ветви; m – количество ветвей, входящих в узел; Eni – ЭДС ветви, входящей в узел (берется со знаком «–», если ЭДС направлена от узла, и со знаком «+», если ЭДС направлена к узлу); g_ni – проводимость соответствующей ветви, входящей в узел.

Рис 5.2

Для схемы на рис. 5.2 матрица узловых проводимостей будет иметь следующий вид:

g₁₁ = 1/R1 + 1/R2 + 1/R5 = 1/10 + 1/4 + 1/20 = 0, 4 (мСм);

g₂₂ = 1/R1 + 1/R6 + 1/R7 = 1/10 + 1/6 + 1/10 = 0, 367 (мСм);

g₃₃ = 1/R6 + 1/R2 + 1/R4 = 1/6 + 1/4 + 1/1 = 1, 417 (мСм);

g₁₂ = g21 = -1/R1 = -1/10 = -0, 1 (мСм);

g₁₃ = g31 = - 1/R2 = -1/4 = -0, 25 (мСм);

g₂₃ = g32 = -1/R6 = -1/6 = -0, 167 (мСм);

Матрица узловых токов для схемы на рис. 5.2 будет следующей:

J_у1 =I1-I2-I5= E1/R1 + E2/R2 = 10/10 + 6/4 = -0.5 (мА);

J_у2 =I6-I1-I3= -E1/R1 – E3/R7 = -10/10 – 20/10 = -3 (мА);

J_у3 = I2+I4-I6= E2/R2 = -6/4 = 1, 5 (мА);

J _у = (J_у1 J_у2 J_у3)T = (-0, 5 -3 1, 5)

В результате получаем следующее матричное уравнение:

Решениями матричного уравнения являются значения потенциалов узлов схемы φ 1, φ 2, φ 3. На основе известных потенциалов узлов можно рассчитать токи ветвей следующим образом: