![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Лекция 8. Приложение уравнений Лагранжа 2-го рода к относительному движению
Во многих технически важных задачах механики необходимо исследовать движение механических систем не относительно неподвижной системы отсчета, а по отношению к движущейся с некоторым телом системе координат. Например, движение деталей двигателя внутреннего сгорания удобно рассматривать относительно корпуса двигателя, т.е. относительно транспортного средства, а не относительно дороги. Поэтому имеет смысл поставить задачу вывода уравнений движения механической системы относительно подвижных осей координат, движение которых в неподвижной системе осей задано. Существует 3 способа формирования уравнений движения МС в этом случае. Способ 1. На основе кинематики сложного движения точки. Рассмотрим рис. 8.1. Здесь показаны оси подвижной СК Axyz, относительно которых необходимо определить движение заданной механической системы. Показаны также оси неподвижной СК Ooxoyozo, относительно которой задано движение подвижной СК Axyz. Рис. 8.1. Разложение абсолютной скорости точки системы, Для нахождения относительного движения системы по отношению к осям Axyz, совершающим известное движение, достаточно применить уравнения Лагранжа к абсолютному движению, выбирая в качестве параметров переменные Абсолютная кинетическая энергия Та системы будет функцией от
Тогда уравнения движения будут
Если заданные силы имеют силовую функцию U (или потенциальную энергию Для вычисления T a не обязательно составлять выражения абсолютных координат в функции
Это выражение позволяет вычислить T a в функции Способ 2. На основе принципа д’Аламбера. Допустим, что требуется найти движение системы, по отношению к осям Axyz, перемещающимся известным нам образом. Положение системы относительно этих осей зависит от некоторого числа геометрически независимых параметров Мы можем рассматривать движущиеся оси как неподвижные при условии присоединения к силам, действительно действующим на каждую точку массы mi переносных и кориолисовых сил инерции. Пусть
— сумма виртуальных работ этих фиктивных сил на перемещении
Способ 3. Смешанный метод Жильбера. Опираясь частично на теорию относительного движения, Жильбер использовал следующий метод. (Gilbert Philippe, Application de la methode de Lagrange a divers problemes de mouvement relatif, Annales de la Societe scientifique de Bruxelles, 1883.) Пусть, как и раньше, требуется найти движение системы относительно осей Axyz, совершающих известное движение. Предполагается, что положение системы относительно этих осей зависит от s геометрически независимых параметров
Проведем через подвижное начало A вспомогательные оси Ax 1 y 1 z 1, параллельные неподвижным осям Ooxoyozo (рис. 8.1, пунктир). Можно рассматривать оси Ax 1 y 1 z 1 как неподвижные при условии добавления к действительно приложенным силам только переносных сил инерции, так как оси Ax 1 y 1 z 1 движутся поступательно. Если мы обозначим ускорение подвижного начала А через
где сумма распространена на все точки. Величины ax, ay, az являются известными функциями времени t. Полагая
мы видим, что сумма виртуальных работ переносных сил равна
Благодаря введению этих переносных сил мы можем рассматривать оси Ax 1 y 1 z 1 как неподвижные и применить уравнения Лагранжа к движению относительно этих осей, как если бы это движение было абсолютным. Обозначим через Т кинетическую энергию системы в движении относительно осей Ax 1 y 1 z 1. Уравнения движения будут
Слагаемое Действительно, виртуальная работа этих сил, равная δ К, если выразить ее в функции переменных
Если заданные силы имеют силовую функцию U, то и правые части уравнений движения (8.6) можно написать в виде
Вычисление величины Т. Скорость Проекции относительной скорости Следовательно, имеем: Положим:
После этого можно написать
Величина Tr (8.9) есть кинетическая энергия системы в ее относительном движении относительно осей Axyz; она непосредственно выражается через переменные qk и их производные Величина Те (8.10) представляет собой кинетическую энергию системы, вызванную ее переносным вращением триэдра Axyz вокруг мгновенной оси Aw; она имеет, следовательно, выражение
где Jw — момент инерции механической системы относительно оси Aw в момент t. Наконец, Т * (8.11)можно переписать в виде
Вектор,
есть главный момент относительно точки A количеств относительного движения
то есть эта часть кинетической энергии выражается через скалярное произведение вектора угловой скорости переносного вращения на вектор кинетического момента системы в относительном движении относительно начала подвижной системы координат. Преимущество геометрических форм, которые мы дали величинам К, Tr, Te, T *, заключается в том, что в каждой конкретной задаче они непосредственно выражают эти величины в функции Пример. Рассмотрим неподвижную вертикальную ось Оу и плоскость Р, проходящую через эту ось и вращающуюся вокруг нее с постоянной угловой скоростью ω. Найти движение однородного тяжелого стержня, скользящего без трения по этой плоскости (рис. 8.2). Радиус инерции стержня при движении в плоскости P ‑ ρ. Рис. 8.2. Параметры движения стержня в плоскости Р Требуется найти относительное движение стержня по отношению к осям Ох и Оу, проведенным в движущейся плоскости Р. Положение стержня относительно этих осей определяется тремя независимыми параметрами: координатами x C, yC центра тяжести C и углом θ между стержнем АВ и осью Ox. Способ 1. На основе кинематики сложного движения точки. Абсолютная скорость какой-нибудь точки mi стержня есть результирующая ее относительной скорости, лежащей в плоскости хОу, и ее переносной скорости
Эта последняя является скоростью, которой обладала бы точка mi, если бы она была неизменно связана с движущейся плоскостью. Следовательно, она равна ω хi, где xi — абсцисса точки mi, и перпендикулярна к плоскости хОу. Таким образом, переносная и относительная скорости взаимно перпендикулярны, и мы имеем
В таком случае для абсолютной кинетической энергии Та для уравнений (8.2) имеем Вычислим оба члена отдельно. Относительное движение стержня является движением в плоскости хОу; кинетическая энергия в этом движении по теореме Кёнига будет где С другой стороны,
Сумма
и абсолютная кинетическая энергия окончательно принимает вид
Так как единственной заданной силой является вес mg, приложенный в т. C, то существует силовая функция U = mgyC. Применяя последовательно уравнения Лагранжа к параметрам x, y, θ получим искомые уравнения движения. Итак,
Сокращая на m, получим три уравнения движения, определяющие x, y, θ в функции t
Способ 2. На основе принципа д’Аламбера. Согласно этому способу добавим к силам, действительно действующим на каждую точку mi переносные и кориолисовы силы инерции. На рис. 8.3 показана переносная сила инерции
Рис. 8.3. К решению на основе принципа д’Аламбера Поэтому
Уравнения приобретут вид, совпадающий с (8.17)
|