Лекция 10. Уравнения Лагранжа 1-го рода

Применяются при решении специальных задач. Прежде всего, их можно применить для определения реакций идеальных связей при движении системы. Достоинством уравнений Лагранжа 2-го рода является отсутствие в них реакций идеальных связей, что существенно облегчает задачу динамики и, вообще, делает ее разрешимой. Найти реакции идеальных связей в этом случае можно способом, основанным на применении принципа освобождаемости от связей. Сначала решается задача по определению законов изменения обобщенных координат, в которой реакции идеальных связей не учитываются. Затем механическая система разнимается по связям, реакции которых необходимо найти. Составляются уравнения Лагранжа 2-го рода для полученных в результате разъема связей частей системы. Туда подставляется найденное ранее решение и таким образом находится значение реакций связей.

Получим уравнения Лагранжа 1-го рода.

Имеем МС с l идеальными связями, уравнения которых

(10.1)

Отсюда, в соответствии с тем, что при варьировании время не меняется, а операция варьирования совпадает с операцией дифференцирования, получим

(10.2)

Умножим (10.2) на λ _j и сложим, получим

(10.3)

В то же время по свойству идеальности связей

(10.4)

где ‑ реакции идеальных связей.

Вычтем из уравнения (10.3) уравнение (10.4), получим

(10.5)

Среди 3 N вариаций независимых вариаций будет только столько, сколько степеней свободы у МС, т.е. s. Остальные 3 N - s, т.е. l будут зависимыми и выражаются через независимые из (10.2). Поэтому подберем значения коэффициентов λ _j так, чтобы выражения в скобках, куда они входят в уравнении (10.5), обращались в ноль. Остальные 3 N - l=s скобок обязаны равняться нулю, т.к. при них стоят независимые вариации, а сумма (10.5) равна нулю при любых значениях этих вариаций. Таким образом, все скобки в выражении (10.5) равны нулю

.

Откуда, находятся все силы реакций идеальных связей

.

Запишем теперь уравнения движения всех точек системы, исходя из ІІ закона Ньютона

(10.6)

Это и есть уравнения Лагранжа I рода.

В этих 3 N уравнениях 3 N + l неизвестных, поэтому к ним следует добавить l уравнений связей (10.1).

Пример.

Рассмотрим пример малых движений математического маятника (рис. 8.1а).

а б

Рис. 10.1.

Выбрав за обобщенную координату угол поворота оси невесомой нити от вертикали φ, получим

Тогда, согласно уравнениям Лагранжа 2-го рода (5.1), получим

. (10.7)

Откуда находим

. (10.8)

Теперь разрежем нить (освободим точку М от связи) и составим уравнение для точки М, движущейся под действием силы тяжести и силы натяжения нити (рис. 10.1б). Проектируем уравнение движения точки в форме 2-го закона Ньютона на нормаль, получаем

,

Откуда,

. (10.9)

Для одновременного получения закона движения механической системы и действующих в ней реакций связей и служат уравнения Лагранжа 1-го рода.

Составим уравнения движения математического маятника в форме уравнений Лагранжа 1-го рода

(10.10)

Выразим проекции силы реакции связи через неопределенные множители Лагранжа

, ,

, ,

получим уравнения (10.10) в виде

Найдем из первого , подставим во второе, получим

. (10.11)

Это уравнение решается заменой

, . (10.12)

получим уравнение (10.7). Но, одновременно,

.

После подстановки в первое уравнение заменяющей формулы (10.12) и уравнения (10.7), окончательно, получим

,

что совпадает с решением (10.9).