Туындысы бойынша шешілген бірінші ретті дифференциалдық теңдеулер

а) анық тамасы б) жалпы шешім, жалпы интеграл в) Коши есебінің

Тең деудің туынды бойынша шешілмеген тү рі тө мендегі қ атынаспен жазылады:

(1)

Мұ нда х -тә уелсіз айнымалы, –белгісіз функция, -туынды, ал F -берілген функция. Осы тең деудің туынды бойынша шешілген тү рі былай жазылады:

(2)

Мұ ндағ ы, -жазық тық тағ ы кейбір D облысында ү здіксіз бірмә нді анық талғ ан функция деп есептелінеді.

Нақ ты сандар осінде -аралығ ын қ арастырайық. Бұ л аралық тұ йық та, ашық та, ақ ырлы немесе ақ ырсыз да болуы мү мкін. Соң ғ ы жағ дайда болуы мү мкін.

Анық тама-1. аралығ ында анық талғ ан функциясы (2) тең деудің шешімі деп аталады, егер ол мынандай ү ш шартты қ анағ аттандырса:

1) функциясы аралығ ының барлық нү ктесінде

дифференциалданатын болса;

2) ;

3) .

Кейбір жағ дайларда (2) тең деумен қ атар оның аударылғ ан тү рі де қ арастырылады:

(3)

Дифференциалдық тең деудің шешімдері ә детте кез келген тұ рақ ты санғ а байланысты болады. Сондық тан да дифференциалдық тең деудің шешімдері шексіз жиын қ ұ райды. Мысалы, тең деуінің шешімін тү рде жазуғ а болады. Мұ ндағ ы, С – кез келген тұ рақ ты сан. Осы С санын ө згерте отырып, ә ртү рлі параболалар жиынын аламыз.

Практикалық есептерді шешкенде тең деудің барлық шешімдерін табу емес, белгілі бір шарттарды қ анағ аттандыратын шешімді табу талап етіледі. Осындай есептің бір тү рі Коши есебі деп аталады. Ол былай қ ойылады: берілген (2) тең деудің барлық шешімдерінің арасынан тә уелсіз айнымалының берілген мә нінде берілген у₀ мә нін қ абылдайтын, яғ ни

(4)

шартын қ анағ аттандыратын шешімін табу керек. Қ ысқ аша бұ л есепті былай жазады:

(5)

Мұ ндағ ы, сандарын бастапқ ы мә ндер, ал (4) тең дікті бастапқ ы шарт деп атайды. Осығ ан байланысты Коши есебін бастапқ ы есеп дейді.

Коши есебіне геометриялық тү сініктеме беруге болады: (2) тең деудің барлық интегралдық қ исық тарының ішінен белгілі бір нү ктесі арқ ылы ө тетінін табу керек.

Жоғ арыда айтылғ андай, дифференциалдық тең деуді интегралдау нә тижесінде кез келген тұ рақ ты саннан тә уелді функция аламыз:

(6)

Мұ ндай шешімдер жиынтығ ын жалпы шешім деп атайды.

Анық тама-2. Айталық, облысы (5) тең деудің Коши есебі шешімінің жалғ ыздық шарты орындалатын облыс болсын. Ө зінің аргументтерінің кейбір облысында анық талғ ан жә не х бойынша ү здіксіз дифференциалданатын (14) функция (5) тең деудің жалпы шешімі деп аталады, егер ол тө мендегідей екі шартты қ анағ аттандырса:

1) D облысында (14) тең дік С саны бойынша шешілсе, яғ ни

(11)

2) тұ рақ ты санның (11) ө рнекпен анық талғ ан кез келген мә нінде (10) функция (2) тең деудің шешімі болса.

Бұ л анық тамадан Коши есебінің кез келген бастапқ ы мә нді қ анағ аттандыратын шешімін табуғ а болады. Шынында да, жалпы шешім (10) ө рнекке бастапқ ы жә не сандарын қ ойсақ, онда

тең дігін аламыз. Анық тама бойынша бұ л ө рнек С саны бойынша шешіледі: . Осы табылғ ан мә нді бастапқ ы (10) қ атынасқ а қ ойсақ,

ө рнегін аламыз. Бұ л іздеген шешіміміз болады.