Интерполирование функции.

(1)

Задача 1: Построить полином Лагранжа-Ньютона L₃(x) для многочлена (1).

Построим таблицу значений функции и разностных отношений. Формула для разностного отношения прядка :

, где

и - разностные отношения i -го порядка,

x_i – узлы интерполирования,

Формула интерполяционного многочлена Ньютона для неравных промежутков:

График функции:

Ответ:

Задача 2: Построить сплайн S _{3, 2} для многочлена (1).

Условия для построения сплайна S _{3, 2}:

1) в узлах;

2) в крайних узлах;

3) Непрерывность вторых производных в узлах (используется при определении m_i).

Примем , где (2)

(2’)

тогда

где α (t), β (t), γ (t), δ (t) – функции-решения задач кратного интерполирования:

В результате получим:

Построим таблицу значений функции в узлах и её производных в крайних узлах:

Для m_i имеем систему линейных алгебраических уравнений:

, где (3)

Получим:

,

Находим σ (t) для каждого промежутка:

1)

Из (2) следует , сделаем замену:

2)

Из (2) следует , сделаем замену:

3)

Из (2) следует , сделаем замену:

В итоге получаем:

Задача 3: Построить алгебраический полином наилучшего равномерного приближения для многочлена (1) на промежутке

, где (4)

- приведённый многочлен Чебышева (многочлен, наименее отклоняющийся от нуля среди всех многочленов со старшим коэффициентом равным единице на )

, где

T ₄(x) – многочлен Чебышева четвёртой степени.

Известно, что , тогда

, тогда из (4) получаем:

Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях x и получаем систему для нахождения a_i, :

В результате получаем:

Задача 4: Вычислить приближённое значение определённого интеграла, построив квадратурную формулу Гаусса.

Дано:

n = 2 – количество узлов,

– весовая функция,

Пусть , тогда

Найти:

Решение:

Узловой полином в случае двух узлов будет иметь вид:

Здесь x₁, x₂ – искомые узлы;

a, b – неопределённые коэффициенты.

Для нахождения узлов воспользуемся условием ортогональности узлового полинома к элементам системы базисных функций (многочленов). В качестве таких многочленов рассмотрим 1 и x.

и

Отсюда находим a и b:

Найдём узлы:

Находим A₁ и A₂ из системы:

Тогда получим следующую квадратурную формулу:

Приведём расчёты для конкретной функции:

Сравним точное значение интеграла с приближённым значением, вычисленным по построенной нами квадратурной формуле.

Точное значение:

Приближенное значение:

Методическая погрешность: