Сферическая система координат

Положение точки М в сферической системе координат задается тройкой чисел r, φ и θ, где r – расстояние от начала координат до точки M (); φ – угол, образованный проекцией радиус-вектора точки M на плоскость 0 ху с положительным направлением оси 0 х (); θ – угол между положительным направлением оси O z и радиус-вектором точки М (). Рис. 1. Сферические координаты точки M. Связь между декартовыми и сферическими координатами описывается формулами Связь между сферическими и цилиндрическими координатами описывается формулами Поверхность, на которой одна из координат сохраняет постоянное значение, называется координатной поверхностью. Линия, вдоль которой изменяется только одна координата, а остальные координаты остаются неизменными, называется координатной линией. Рис. 2. Координатные поверхности сферической системы координат: сфера (r = const); полуплоскость (φ = const); конус (θ = const). В сферической системе координатные линии, проходящие через любую точку M пространства, пересекаются под прямым углом. Такие системы координат называютсяортогональными. Единичный касательный вектор к координатной линии в точке М, направленный в сторону возрастания координаты, называется ортом в точке М. Поскольку сферическая система координат является ортогональной, то в любой точке пространства векторы и попарно ортогональны. Отметим, что каждая координатная линия перпендикулярна соответствующей координатной поверхности. Некоторые полезные формулы: 1. Элемент длины дуги: 2. Якобиан перехода от декартовой системы координат к сферической: 3. Элемент объема: