Цилиндрическая система координат

Цилиндрическая система координат представляет собой трёхмерную систему координат, являющуюся обобщением полярной системы координат посредством добавления третьей координаты, которая задаёт смещение произвольной точки M вдоль оси 0 z относительно координатной плоскости 0 xy. Положение точки M в цилиндрической системе координат определяется тройкой чисел ρ, φ и z, где ρ – расстояние от точки M до оси 0 z (); φ – угол, образованный проекцией радиус-вектора точки M на плоскость 0 ху с положительным направлением оси 0 х (); z – проекция точки M на ось 0 z (). Рис. 1. Цилиндрические координаты точки M. Связь между декартовыми и цилиндрическими координатами описывается формулами Поверхность, на которой одна из координат сохраняет постоянное значение, называется координатной поверхностью. Рис. 2. Координатные поверхности цилиндрической системы координат: круговой цилиндр (ρ = const); полуплоскость (φ = const); плоскость (z = const). Линия, вдоль которой изменяется только одна координата, а остальные координаты остаются неизменными, называется координатной линией. Рис. 3. Координатные ρ -линии (лучи) и φ -линии (окружности) цилиндрической системы координат. Координатная z -линия (прямая) направлена перпендикулярно плоскости 0 xy. В цилиндрической системе координатные линии, проходящие через любую точку M пространства, пересекаются под прямым углом. Такие системы координат называютсяортогональными. Единичный касательный вектор к координатной линии в точке М, направленный в сторону возрастания координаты, называется ортом в точке М. Поскольку цилиндрическая система координат является ортогональной, то в любой точке пространства векторы и попарно ортогональны. Рис. 4. Орты и цилиндрической системы координат. Вектор направлен перпендикулярно плоскости 0 xy. Отметим, что каждая координатная линия перпендикулярна соответствующей координатной поверхности. Некоторые полезные формулы: 1. Элемент длины дуги: 2. Элемент площади поверхности: 3. Якобиан перехода от декартовой системы координат к цилиндрической: 4. Элемент объема: