Невырожденные матрицы. Обратная матрица. Примеры.

Матрица А^-1 наз. обратной для матрицы А, если А^-1 А = Е Теорема. Для того, чтобы квадратная матрица А имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы она была невырожденной, т.е. А 0. Элемент обратной матрицы (А^-1)_{i j} равен алгебраическому дополнению A_{j i} матрицы А, деленному на det A: (A^-1)_{i j} = A_{j i} / det A (индексы поменяли места) или A^-1 = (detA)^-1 ||A_ij||^T Пример: Построить матрицу обратную к данной. 3 -1 -1 det ^ A =52

А= 2 2 4 A ₁₁=14 A ₁₂ =-6 A ₁₃ =-4 A ₂₁ =4 A ₂₂ =2 A ₂₃ =10

-1 -3 1 A ₃₁ =-2 A ₃₂ =-14 A ₃₃ =8

Составим из них присоединённую матрицу и транспонируем ее и вычислим по формуле A ^–1 = (det A)^–1|| A_ij || ^T . И после вычислим произведение. Получилась единичная матрица.

Алгоритм нахождения обратной матрицы Примеры.

1. Вычисление определителя матрицы A. Если он не равен нулю, продолжаем решение, иначе - обратной матрицы не существует.

2. Нахождение транспонированной матрицы A^T.

3. Определение алгебраических дополнений.

4. Составление обратной матрицы из алгебраических дополнений.

Определители 2-го и 3-го порядка. Основные понятия. Примеры.

Определение и основные свойства (транспонирование, изменение порядка строк или столбцов, умножение на число, сложение строк или столбцов, разложение определителя по элементам строки или столбца).