Главная страница Случайная страница
КАТЕГОРИИ:
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Системы линейных уравнений. Формулы Крамера решения систем линейных уравнений. Пример.
|
|
Еще одним популярным методом решения системы линейных алгебраических уравнений является метод Крамера. Крамера, используя следующие формулы: для вычисления корней уравнений xi (i=1, n)
xi=Δ in/Δ n (i=1, n),
где Δ n=det A, а Δ in являются определителями n-го порядка, которые получаются из Δ n путем замены в нем i-го столбца столбцом свободных членов исходной системы.
Что бы закрепить теоретический материал, обратимся к практике, решим систему из трех уравнений методом Крамера.
76x1-7x2-6x3=-5
10x1+12x2-7x3=11
-16x1+10.5x2-13x3=-10
Определим совместность системы линейных уравнений. По теореме Кронекера-Копелли для того, что бы система линейных алгебраических уравнений была совместна (имела решение), необходимо и достаточно, что бы ранг основной матрицы
| A= |
|
и ранг расширенной матрицы
| B= |
|
были равны.
Так как rang|A|=3 равен rang|B|=3 и равен количеству неизвестных n=3, то система имеет единственное решение.
Согласно вышеприведенной формуле для метода Крамера, необходимо найти главный определитель и он будет равен
| Δ = |
| =-9746 |
Для вычисления X1 найдем первый определитель, для чего заменим первый столбец столбцом свободных членов.
| Δ 1= |
| =-2491.5 |
Точно как же как и для X1 найдем определитель, для вычисления X2
| Δ 2= |
| =-17854 |
Проделаем аналогичную операцию для вычисления следующего определителя для X3
| Δ 3= |
| =-18851 |
В результате осталось разделить нужные определители на главный, в итоге получим:
X1=Δ 1/Δ? 0.256
X2=Δ 2/Δ? 1.832
X3=Δ 3/Δ? 1.934
Векторы. Основные понятия.
Вектор - это направленный отрезок, то есть отрезок, имеющий длину и определенное направление. Графически вектора изображаются в виде направленных отрезков прямой определенной длины. Длина направленного отрезка определяет числовое значение вектора и называется длиной вектора или модулем вектора AB. Нулевым вектором называется вектор, у которого начальная и конечная точка совпадают. Вектора, параллельные одной прямой или лежащие на одной прямой называют коллинеарными векторами. Два коллинеарных вектора a и b называются сонаправленными векторами, если их направления совпадают: a↑ ↑ b. Два коллинеарных вектора a и b называются противоположно направленными векторами, если их направления противоположны: a↑ ↓ b Вектора, параллельные одной плоскости или лежащие на одной плоскости называют компланарными векторами. Вектора a и b называются равными, если они лежат на одной или параллельных прямых, их направления совпадают, а длины равны.Единичным вектором или ортом - называется вектор, длина которого равна единице.