Ортогональные векторы. Ортонормированный базис.

Определение. Два вектора называются ортогональными, если угол междуними равен прямому углу, т.е. .

Обозначение: – векторы и ортогональны.

Определение. Тройка векторов называется ортогональной, если эти векторы попарно ортогональны друг другу, т.е. , .

Определение. Тройка векторов называется ортонормированной, если она ортогональная и длины всех векторов равны единице: .

Замечание. Из определения следует, что ортогональная и, следовательно, ортонормированная тройка векторов является некомпланарной.

Определение. Упорядоченная некомпланарная тройка векторов , отложенных от одной точки, называется правой (правоориентированной), если при наблюдении с конца третьего вектора на плоскость, в которой лежат первые два вектора и , кратчайший поворот первого вектора ко второму происходит против часовой стрелки. В противном случае тройка векторов называется левой (левоориентированной).

рис.6.

Здесь, на рис.6 изображена правая тройка векторов . На следующем рис.7 изображена левая тройка векторов :

рис.7.

Определение. Базис векторного пространства называется ортонормированным, если ортонормированная тройка векторов.

Обозначение. В дальнейшем мы будем пользоваться правым ортонормированным базисом , см. следующий рисунок:

рис.9.

Любой вектор можно разложить по этому базису:

.