Дифференциальные звенья.

Даёт на выходе производную входящего сигнала, описываются ДУ вида:

Передаточная функция дифференцирующего звена:

W(S)=K*S

Т.к. производная единичного ступенчатого сигнала 1(t) в точке t=0 это дельта-функция δ (t), получаем, что переходная характеристика дифференциального звена:

h(t)=h*δ (t) – физически нереальна;

– реальные функции;

т.к. δ (t) и её производная имеет бесконечные значения, которые невозможно получить на реальном устройстве.

Лекция 12.

Таким образом, выражение (1) представляет собой последовательное соединение усилителя двух апериодических звеньев и звена обратного апериодическому (его ПФ T₂S+1).

Для построения ЛАЧХ система в ПФ W(s) в виде выражений (1) достаточно сложить ЛАЧХ всех её сомножителей. На низких ω до ω _с1= «работает» только усилитель и асимптотическая ЛАХ идёт на постоянном уровне 20*lg(k). Начиная с ω _c1 первое апериодическое звено даёт наклон ЛАХ -20 [дБ/дек]. А с ω _c2 звено (T₂S+1) восстанавливает нулевой наклон. На частотах выше ­ω _c3= включается второе (быстродействующее) апериодическое звено, которое определяет наклон -20 [дБ/дек], оставшийся в высокочастотности ЛАХ. Для построения ЛФЧХ принцип остается тот же.

Глава 4.

Анализ системы управления.

Требования к управлению.

Выделяют 4 основных требования:

1. Точность – в установившемся режиме система должна поддерживать заданное значение выхода системы, при чём ошибка (разница между фактическим и заданным значением) не должна превышать допустимую.

2. Устойчивость – система должна оставаться устойчивой на всех режимах «не идти в разнос» (корабль не должен идти по кругу при смене курса).

3. Качество переходных процессов – при смене заданного значения, система должна переходить в заданное состояние по возможности, быстро и плавно.

4. Робастность – система должна сохранять устойчивость и приемлемое качество даже в том случае, если динамика объекта и свойства внешних возмущений немного отличаются от тех, что использовались при проектировании.

Устойчивость – это важнейшее свойство автоматической системы, определяющее её работоспособность.

Устойчивость – это способность любого материального образования сохраняться в пространстве и времени.

Наглядный классический пример устойчивости – это положение равновесия «шар-поверхность»:

1) Неограниченная устойчивось «в целом»

2) Неустойчивость

3) Ограниченная устойчивость «в малом» (при малом возмущении вернётся в положение равновесия)

4) Нейтральная устойчивость, т.е. шар находится на границе устойчивости. При небольшом смещении он останется в новом положении. Система «шар-горка» нелинейная. Устойчивость АС – это способность системы сохранять заданное состояние равновесия или заданный вид движения после прекращения действия возмущения. Для АС это свойство крайне важно, часто имеет обратные связи. В результате при неправильном расчёте АС из устойчивых элементов может быть неустойчиво или наоборот внутренняя (математическая) устойчивость. Говоря о внутренней устойчивости рассматривают не только выход, но и все переменные, описывающие состояние в системе. В математической теории x(t) – это вектор состояния.

(1) =f(x, t) – уравнение движения.

Фактически – это система ДУ 1-го порядка. В ней правая часть зависит только от значений t и x(t), но не от производных. Если вектор состояния x(t) состоит из двух компонентов x₁(t) и x₂(t), то уравнение движения можно записать в развёрнутой форме:

где f₁ и f₂ зависят от вектора состояния и времени.

Устойчивость определяется для некоторого положения равновесия, в котором все производные равны 0.

F(x*, t)=0, где x*- соотвественно вектор состояния в положении равновесия в некоторое начальное состояние x₀=x(0)

Задади н.у., а потом внешнее воздействие прекратили.

Дальнейшее изменение координат («движение системы x можно найти как решение уравнения (1) при заданных н.у. Не сторого говоря, устойчивость означает, что все движения x(t), которые начинают близко от положения равновесия х* при всех t остаётся в некоторой окрестности х*. Лучше, конечно, если система не просто устойчива, а ещё и возвращается в положение равновесия, т.е. x(t) à x* при t стремящимся в бесконечность – асимптотическая устойчивость.

Рассмотрим маятник.

Маятник без трения – нейтрально устойчивая система, а с трением – асимптотически устойчивая система.

Лекция 13.

Внутренняя устойчивость.

Формальное определение внутренней устойчивости было введено в работах Ляпунова (1857-1917), поэтому такое понятие устойчивости называется устойчивостью по Ляпунову.

Рассмотрим систему 1-го порядка (с одной переменной состояния x(t)):

Система называется устойчивой по Ляпунову в положении равновесия x*, если при начальном отклонении от положения равновесия x* не более чем на δ, траектория движения отклоняется от x* не более чем на E. При чём для каждого Е можно найти соответствующее ему δ (Е)

Математически можно записать:

|x₀-x*|< δ è |x(t)-x*|< E,

при t à в бесконечность.

Ели кроме того вектор состояния стремится к положению равновесия, не |x(t)-x*| à 0 при t à в бесконечность (2).

Система тогда называется асимптотически устойчивой в положении равновесия x*.

Выполнение условия (2) не гарантирует устойчивость по Ляпунову.

Положения равновесия, которые устойчивы по Ляпунову, но не асимптотически устойчивы, иногда называют нейтрально устойчивыми.

Траекторию движения систем 2-го порядка (2 переменных состояния) обычно изображают на фазовой плоскости, где по одной оси откладывают x₁(t) а по второй x₂(t)

Устойчивость линейных систем.

Линейные системы обладают рядом особенностей, которые во многих случаях упрощают анализ устойчивости.

1. Автономная линейная система (на которою не действуют внешние силы)

Может иметь единственное положение равновесия (в котором все сигналы равны нулю) или бесконечно много положений равновесия («шарик на плоскости»)

2. Устойчивость – свойство линейной системы, а не отдельного положения равновесия: или все её движения устойчивы (асимптотически устойчивы) или все неустойчивы.

3. Асимптотическая устойчивость.

В «малом» сразу означает её устойчивость в «целом», т.е. при любых отклонениях от положения равновесия. Для того, чтобы получить условия устойчивости рассмотрим уравнение движения линейной системы, на которую не действуют внешние силы.

Пусть W(S) – передаточная функция линейной системы.

f(t)=0 – внешние возмущения не действуют.

Запишем ПФ в виде дроби:

Где N(S) и D(S) – полиномы

α i(i=1..n) – простые (некратные) полюса передаточных функций (корни знаменателей)

Из теории линейных ДУ известно, что при отсутствии внешних возмущений выход такой системы можно представить в виде:

где a­_i­ (i=1…n) – const, которые определяются начальными условиями.

Процесс y(t) затухает при любых н.у. тогда и только тогда, когда все корни α _i (i=1…n) имеют отрицательные вещественные части. В этом случае система асимптотически устойчива.

Поскольку устойчивость линейной системы определяет корни полинома D(S) – знаменателя передаточной функции, этот полином называется характеристический полином системы. В общем случае передаточная функция линейной системы – дробно-рациональное выражение, тогда характеристический полином (ХП) замкнутой системы будет равен:

D(S)=R(S)+Q(S), т.е. сумма числителей и знаменателей ПФ.

Если показать корни характеристического полинома на комплексной плоскости, то слева от линейной оси будут устойчивые корни (с отрицательной вещественной частью), а справа неустойчивые, т.е. область устойчивости – это левая полуплоскость.

Для устойчивости АС необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения были левыми. Если один корень правый (№3) – система неустойчива, если один нулевой (№4) или пара сопряжённых мнимых корней (№5) – система на границе устойчивости (нейтрально устойчива).

Если все корни отрицательные (№1, №2) – то система асимптотически устойчива.

Отмеченные выше условия справедливы только для линейных систем, все реальные системы нелинейные, т.е. описываются нелинейными уравнениями.

Теоремы Ляпунова:

I теорема. Если линеаризованная система устойчива, то исходная нелинейная система будет устойчива «в малом».

II теорема. Если линеаризованная система на границе устойчивости (есть хотя бы I корень с нулевой вещественной частью), то об устойчивости нелинейной системы ничего нельзя сказать без дополнительных исследований (необходимо рассмотреть отброшенные при линеаризации нелинейные части).

Таким образом для исследования устойчивости положения равновесия нелинейной системы нужно линеаризовать модель в окрестностях этой точки и найти корни характеристического полинома.

Лекция 14.

Критерии (условия) устойчивости.

Позволяют судить об устойчивости невозмущённого движения АС без нахождения корней характеристического полинома.

Выделяют 2 группы критериев:

1. Алгебраические:

· необходимый КУ

· критерий Рауса

· критерий Гурица

Эти критерии позволяют судить об устойчивости АС по алгебраическим соотношениям, составленных из коэффициентов характеристического полинома:

a_i(i=0…n) – коэффициенты ХП

2. Частотные:

· критерий Михайлова

· критерий Найквиста

Устойчивость определяется по частотным характеристикам АС.

Необходимы критерий устойчивости.

Для устойчивости АС необходимо, чтобы все коэффициенты a­_i ХП D(S) были одного знака. Обычно считают, что они положительны a_i> 0. Это необходимое условие, но не достаточное, поэтому были разработаны необходимые и достаточные условия устойчивости.

Критерий Рауса:

Практического применения почти не получил. Сводится к разработке таблицы Рауса. Наиболее приспособлен и удобен для компьютерного исследования устойчивости

Критерий Гурвица:

Использует матрицу размерностью n*n, составляемую из коэффициентов полинома D(S) следующим образом:

1. Первая строка содержит коэффициенты a₁, a₃, a₅… (нечётные номера); оставшиеся позиции заполняют нулями;

2. Вторая строка состоит из коэффициентов a₀, a­_­2, a₄... (все с чётными номерами);

3. Третья и четвёртая строка получается сдвигом 1-й и 2-й строк на одну позицию вправо и т.д.

Например, для полинома 5 порядка (n=5)

Определение: все корни полинома D(S) имеют отрицательные вещественные части тогда и только тогда, когда все «n» главных миноров матрицы H_n (определители Гурвица) положительы.

Достаточно проверить только (n-1) первых определителей Гурвица.

Если они больше нуля, то корни имеют отрицательные вещественные части à корни устойчивы à система устойчива.

Критерий Найквиста.

Наиболее употребительный критерий устойчивости, который позволяет определить устойчивость замкнутой системы, построив частотную характеристику разомкнутой системы.

- передаточная функция замкнутой АС (ЗАС)

Имея W(S) переходим к частотной ПФ W(jω), где ω – частота.

Переходим к РАС:

Частотная ПФ W(jω)=A(ω)e^{jφ (ω)}=P(ω)+jQ(ω) – комплексное число, которое можно изобразить точкой на комплексной плоскости:

При изменении частоты 0< ω <

ЧПФ W(jω) на комплексной плоскости образует некоторую кривую – годограф Найквиста (АФХ – амплитудно-фазовая характеристика).

Таким образом для исследования устойчивости ЗАС используется АФХ разомкнутой цепи.

Различают 3 основных случая:

1. РАС-устойчива

Для устойчивости ЗАС необходимо и достаточно, чтобы АФХ не охватывала точку с координатами (-1; 0) комплексной плоскости.

Если АФХ проходит через точку (-1; 0) – система находится на границе устойчиврсти. ω _ср для которой А(ω _ср)=1 называется частотой среза.

2. Передаточная функция РАС имеет вид:

Где k=1, 2 – количество интерпретирующих звеньев.

В этом случае годограф начинается не на вещественной оси, а приходит из бесконечности, тогда в контур необходимо включить не только полученную кривую, но и часть окружности бесконечного радиуса от вещественной оси до годографа в порядке обхода по часовой стрелке.

Если функция W(S) имеет k интерпретирующих звеньев, нужно добавить k секторов под 90°.ж

Если в СУ есть запаздывание на время τ, на любой частоте появится дополнительный сдвиг фазы –τ *ω; Это значит, что каждая точка годографа поворачивается на некоторый угол против часовой стрелки:

Запаздывание всегда ухудшает устойчивость системы и это важно читывать при проектировании.

3. РАС неустойчивая (ХП имеет кони в правой полуплоскости l=1, 2)

В этом случае нужно считать, сколько раз годограф пересекает ось абсцисс левее точки с координатами (-1; 0), причём переход «сверху вниз» считается положительным, а переход «снизу-вверх» - отрицательным.

Определение: Для того, чтобы замкнутая АС была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы разница между числом положительных и отрицательных переходов была равна l/2, где l – число неустойчивых полюсов (корни знаменателя)

ПФ разомкнутой АС

П – переход.

П h – П | = l/2, ω [0; ]

Начальная точка на оси абсцисс левее точки (-1; 0) считается за половину перехода.

Критерий Найквиста для ААФЧХ:

Имеет большое практическое значение;

1. ПФ РАС не имеет неустойчивых полюсов.

Для анализа устойчивости наиболее важно наведение частотной характеристики в районе частоты среза ω _ср, где A(ω _cp)=1.

Для устойчивости системы значение фазы на ω _ср должно быть больше 180°

Φ (ω _ср)> 180°

На графике представлены 3 фазовых характеристики устойчивых систем. Кривая 1 – соответствует случаю, когда в разомкнутой АС нет интеграора

Кривая 2 – система с одним интегратором

Кривая 3 – система с двумя интегратонами

2. РАС имеет неустойчивые полюса (звенья).

В этом случае нужно считать переходы фазовых характеристик через линию φ (ω)=-180° левее ω ­_ср, здесь переходы (+) «снизу-вверх», а отрицательные «сверху вниз».

Если фазовая характеристика начинается на линии φ (ω)=-180°, это считается за половину перехода

П / - П \ = l/2

Ω [0; )

Лекция 16.

Запас устойчивости по фазе φ _зап.

Это дополнительный сдвиг фазы («поворот» ЧХ против часовой стрелки), который необходим для того, чтоб вывести систему на границу устойчивости. Он определяется на частоте среза ω _cp, где амплитуда A(ω _cp)=1

Запас по амплитуде может быть равен бесконечности. Если фазовая характеристика φ (ω) не пересекает линию -180°.

Считается, что АС имеет приемлемое качество, если L_зап и φ _зап находятся в диапазоне рекомендуемых значений:

L_зап=(6-12) дБ

φ _зап=(30-60)°

3. Корневые оценки качества.

Многие свойства системы можно предсказать, посмотрев на расположение корней ХП D(S) на комплексной плоскости.

Прежде всего все корни D(S) для устойчивой системы должны находиться в левой полуплоскости, т.е. слева от мнимой оси.

Быстродействие системы определяется степенью устойчивости η. Так называется расстояние от мнимой оси до ближайшего корня (или пары комплексно-сопряженных корней).

Степень устойчивости определяется вещественным корнем 1, т.к. он находится ближе всех к мнимой оси. Этот корень называется доминирующим, он определяет самое медленное движение в системе и время переходного процесса.

Корни 2, 3 и 4 соответственно более быстрым движениям.