Уточняющая формула Ромберга.

Метод Ромберга заключается в последовательном уточнении значения интеграла при кратном увеличении числа разбиений. В качестве базовой может быть взята формула трапеций с равномерным шагом h. Обозначим интеграл с числом разбиений n = 1 как

Уменьшив шаг в два раза, получим

Если последовательно уменьшать шаг в 2n раз, получим рекуррентное соотношение для расчет

Пусть мы вычислили четыре раза интеграл с n от 1 до 4. Представим следующий треугольник:

R(1; 1)

R(2; 1) R(2; 2)

R(3; 1) R(3; 2) R(3; 3)

R(4; 1) R(4; 2) R(4; 3) R(4; 4)

В первом столбце стоят значения интеграла, полученные при последовательном удвоении числа интервалов. Следующие столбцы – результаты уточнения значения интеграла по следующей рекуррентной формуле:

Правое нижнее значение в треугольнике – искомое уточненное значение интеграла.

4. Метод Симпсона.

Подынтегральная функция f(x) заменяется интерполяционным полиномом второй степени P(x) – параболой, проходящей через три узла, например, как показано на рисунке ((1) – функция, (2) – полином).

Рассмотрим два шага интегрирования (h = const = xi+1 – xi), то есть три узла x0, x1, x2, через которые проведем параболу, воспользовавшись уравнением Ньютона:

Пусть z = x - x0,

Тогда

Теперь, воспользовавшись полученным соотношением, сосчитаем интеграл по данному интервалу:

В итоге

Для равномерной сетки и четного числа шагов n формула Симпсона принимает вид:

Здесь, а в предположении непрерывности четвертой производной подынтегральной функции.

5. Методы Монте-Карло.

1) одномерная случайная величина – статистический вариант метода прямоугольников.

В качестве текущего узла xi берется случайное число, равномерно распределенное на интервале интегрирования [a, b]. Проведя N вычислений, значение интеграла определим по следующей формуле: Для R можно утверждать хотя бы ~

2) двумерная случайная величина– оценка площадей.

Рассматриваются две равномерно распределенных случайных величины xi и yi, которые можно рассматривать как координаты точки в двумерном пространстве. За приближенное значение интеграла принимается количества точек S, попавших под кривую y = f(x), к общему числу испытаний N, т.е

И первый, и второй случаи легко обобщаются на кратные интегралы